Динаміка виробництва готової продукції на фірмі

	2004	2005	2006	2007	2008	2009
Готова продукція фірми, тис. грн.	18	21	26	22	25	28

Рівень прямої має вид: = а₀ + а₁ t. Для 2004 р. його рівень склав:

а₀ + а₁ * 1 = 18; для 2009 р.: а₀ + 6 * а₁ = 28.

Вирішуючи ці рівняння як систему рівнянь, одержимо: 10 = 5а₁; а₁ = 2;

а₀ = 28- 6а₁ = 28-12=16. Отже, наближена модель динаміки готової продукції виражається рівнянням = 16 + 2t. Тут параметр а₁ відповідає абсолютному приросту.

Можна припустити і розвиток по параболі другого порядку: = а₀ + а₁ t + а₂t², але тоді варто взяти три точки, наприклад рівень 2004,2007,2009 р., тобто рівні при t=1, t=4, t=6.

Складемо систему трьох рівнянь із трьома невідомими:

а₀ + 1а₁ + 1а₂ = 18;

а₀ + 4а₁ + 16а₂ = 22;

а₀ + 6а₁ + 36а₂ + 28.

Вирішуємо цю систему, одержимо: а₀ = 18, а₁ = 0,3 і а₂ = 0,3, а саме рівняння стосовно до нашого приклада висловиться = 18 + 0,3t + 0,3t², що в наближеній формі визначить модель динаміки даного явища.

Метод найменших квадратів при розрахунку параметрів поліномів. Позначимо послідовні параметри поліному як а₀,,а₁,а₂. Тоді системи нормальних рівнянь для оцінювання параметрів прямої приймуть вид:

nа₀ + а₁S t= Sу;

а₀S t + а₁S t² = S tу,

для параболи другого порядку:

nа₀ + а₁S t + а₂S t² = S у

а₀S t+ а₁S t² + а₂S t³ = S уt;

а₀S t² + а₁S t³ + а₂S t⁴ = S уt².

Рішення системи рівнянь щодо шуканих параметрів а₀ і а₁:

Проте такий шлях розрахунку параметрів достатньо важкий, якщо він не виконується на ЕОМ. Тому перейдемо до спрощених прийомів розрахунку параметрів, застосування яких дає суттєву економію часу праці без якийсь утрати точності результатів.

Спрощений розрахунок параметрів полягає в переносі початку координат у середину ряду динаміки. У цьому випадку спрощуються самі нормальні рівняння, крім того, зменшуються абсолютні значення величин, що беруть участь у розрахунку. Справді, якщо до переносу координат t було дорівнює 1,2,3,…,n, то після переносу t= …,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,…, якщо число членів ряду нечетне. Коли ж число ряду четне, то t=…,-5,-3,-1,1,3,5,… Отже, , у яких “р”нечетне число, рівні 0. Таким чином, системи нормальних рівнянь тепер спрощуються для прямої:

nа0 = Sу;

а₁S t² = S tу,

для параболи другого порядку:

nа₀ + а₂S t² = S у

а₁S t² = S уt;

а₀S t² + а₂S t⁴ = Sуt².

Вирішуючи ці системи щодо невідомих параметрів, одержимо розміри параметрів відповідних поліномів.

Параметр а₁ виражає початкову швидкість росту, а коефіцієнт а₂ - постійну швидкість зміни приросту. Якщо рівень явища росте з прискоренням, то розмір цього прискорення в середньому за досліджуваний період дорівнює 2а₂ одиницям.

Наприклад. Необхідно визначити основну тенденцію ряду динаміки врожайності зернових культур у господарстві за 1986-2009 р. за даними табл.10.8.

Почнемо визначення тенденції із самого простого поліному - рівняння прямої. Вирішуючи систему нормальних рівнянь, одержимо шукані параметри: а₀=14,8; а₁=0,17. А саме рівняння уявимо такою уявою:

= 14,8+0,17t,

що показує тенденцію динаміки врожайності зернових культур у 1986-2009 р., тобто протягом досліджуваного періоду врожайність зернових культур у господарстві збільшилася в середньому на 0,17 ц/га в рік.

Таблиця 10.8

Динаміка врожайності зернових культур у господарстві і визначення параметрів рівняння методом найменших квадратів

Рік	Врожайність ц із 1 га, уі	t	t^2	уs t
1986 1987 1988 1989 1990 1991 1992 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009	13,7 12,1 14,0 13,2 15,6 15,4 14,0 17,6 15,4 10,9 17,5 15,0 18,5 14,2 14,9	-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7	49 36 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49	-95,9 -72,6 -70,0 -52,8 -46,8 -30,8 -14,0 0 15,4 21,8 52,5 60,0 92,5 85,2 104,3	13,6 13,8 13,9 14,1 14,3 14,5 14,6 14,8 15,0 15,1 15,3 15,5 15,7 15,8 16,0
Разом	222,0	0	280	48,8	222,0