5. Моделі сезонних коливань

У статистиці періодичні коливання, що мають визначений і постійний період, рівний річному проміжку, звуться “сезонні коливання”, або “сезонні хвилі”, а динамічний ряд у цьому випадку називають тренд - сезонним, або просто сезонним рядом динаміки.

Сезонні коливання характеризуються спеціальними показниками, що називаються індексами сезонності (Is). Сукупність цих показників відбиває сезонну хвилю. Індексами сезонності є процентні відношення фактичних внутрішньорічних рівнів до постійного або змінної середньої.

Для виявлення сезонних коливань звичайно беруть дані за декілька років, розподілені по місяцях. Дані за декілька років (не менше трьох) використовуються для того, щоб виявити стійку хвилю, на якій не відбивалися б випадкові умови одного року.

Якщо ряд динаміки не містить яскраво вираженої тенденції в розвитку, то індекси сезонності обчислюються безпосередньо по емпіричним даним без їхнього попереднього вирівнювання.

Для кожного місяця розраховується середній розмір рівня, наприклад за три року (у_і), потім із них обчислюється середньомісячний рівень для всього ряду (у), і на закінчення визначається процентне відношення середніх для кожного місяця до середньомісячного рівня ряду, тобто

.

Наприклад. Розрахуємо індекси сезонності на місячних даних про внутрішньорічну динаміку числа розірваних шлюбів.

За даними табл.10.9 обчислимо усереднені значення рівнів по однойменних періодах засобом середній арифметичної простій:

Січень:

Лютий: і т.д. (гр. 4 табл.10.9).

Потім по обчислених помісячних середніх рівнях визначимо загальний середній рівень:

.

Далі розрахуємо по місяцях року індекси сезонності:

Січень:

Лютий: і т.і. (гр. 5 табл.10.9).

Таблиця 10.9

Динаміка шлюбів, розірваних населенням міста, і розрахунок індексів сезонності

Місяць	Число розірваних шлюбів				Індекс сезонності
	2007 уі	2008 уі	2009 уі	У середньому за три роки
А	1	2	3	4	5
Січень Лютий Березень Квітень Травень Червень Липень Август Вересень Жовтень Листопад Грудень	195 164 153 136 136 123 126 121 118 126 129 138	158 141 153 140 136 129 128 122 118 130 131 141	144 136 146 132 136 125 124 119 118 128 135 139	165,7 147,0 150,7 136,0 136,0 125,7 126,0 120,7 118,0 128,0 131,7 139,3	122,4 108,6 111,3 100,4 100,4 92,8 93,1 89,1 87,2 94,5 97,3 102,9
Середній рівень ряду	138,77	135,6	131,8	135,4	100,0

Сукупність обчислених індексів сезонності характеризує сезонну хвилю розвитку шлюбів, розірваних населенням міста, у внутрішньорічної динаміці. Для наочного одержання уявлення про сезонну хвилю бажано зобразити отримані дані у виді лінійної діаграми.

Якщо ж ряд динаміки містить визначену тенденцію в розвитку, то перед тим, як обчислити сезонну хвилю, фактичні дані повинні бути оброблені так, щоб була виявлена загальна тенденція. Звичайно для цього прибігають до аналітичного вирівнювання ряду динаміки.

При використанні аналітичного вирівнювання хід обчислень індексів сезонності такий (табл.10.10):

• по відповідному поліному обчислюються для кожного місяця (кварталу) вирівняні рівні на момент часу (t) (гр.2);

• визначаються відношення фактичних місячних (квартальних) даних (у_і) до відповідних вирівняних даних (у_t) у відсотках (гр.3);

I_і = (у_і : у_t) . 100;

• знаходяться середні арифметичні з процентних співвідношень, розрахованих по однойменних періодах у відсотках (гр.4):

Ii = ( I₁ + I₂ + I₃ + ... + I_п):n ,

де n - число однойменних періодів.

Таблиця 10.10

Динаміка поквартального продажу безалкогольних напоїв в однієї з областей України за 2007-2009 р. і розрахунок сезонної хвилі

Рік і квартал	Млн. дкл уі	Теоретичні рівні =88,3+0,13t	Індекс сезонності по кожному кварталі року	Індекс сезонності по однойменних кварталах
А	1	2	3	4
2007 1 2 3 4	58,4 125,6 108,1 60,8	86,2 86,6 87,0 87,3	67,8 145,0 124,3 69,6	67,6 140,4 121,7 70,3
2008 1 2 3 4	57,7 115,4 103,9 60,6	87,7 88,1 88,5 88,9	65,8 131,0 117,4 68,2	67,6 140,4 121,7 70,3
2009 1 2 3 4	61,8 130,2 111,0 66,1	89,2 89,7 90,0 90,4	69,3 145,3 123,3 73,1	67,6 140,4 121,7 70,3
Разом	1059,6	1059,6	1200	1200

У загальному виді формулу розрахунку індексу сезонності даним засобом можна записати так:

.

Розрахунок закінчується перевіркою правильності обчислень індексів. Тому що середній індекс сезонності для всіх місяців (кварталів) повинен бути 100%, то сума отриманих індексів по місячним даним дорівнює 1200, а сума по чотирьох кварталах - 400.

У результаті проведених розрахунків у табл.10.10 одержали ряд індексів (гр.4), що характеризують сезонну хвилю продажу безалкогольних напоїв (у відсотках до середньорічного продажу, прийнятої за 100%) по кварталах.