4. Середні індекси

Крім агрегатних індексів у статистиці застосовується інша їхня форма - середньовзваженні індекси. До їхнього числення прибігають тоді, коли наявна в розпорядженні інформація не дозволяє розрахувати загальний агрегатний індекс. Так, якщо відсутні дані про ціни, але є інформація про вартість продукції в поточному періоді і відомі індивідуальні індекси цін по кожному товарі, то не можна визначити загальний індекс цін як агрегатний , але можливо обчислити його як середній з індивідуальних.

Середній індекс - це індекс, обчислений як середній розмір з індивідуальних індексів.

При численні середніх індексів використовуються дві форми середніх: арифметична і гармонійна.

Середній арифметичний індекс фізичного обсягу продукції обчислюється по формулі

Тому що i_q* q₀=q₁, то формула цього індексу легко перетвориться у вище приведену формулу . Вагами у формулі є вартість продукції базисного періоду.

У статистиці широко відомий і інший середній арифметичний індекс, що використовується при аналізі продуктивності праці. Він зветься індекс Струмиліна і визначається в такий спосіб:

.

Індекс показує, у скільки разів зросла (зменшилася) продуктивність праці, або скільки відсотків склав ріст (зниження) продуктивності праці в середньому по всім одиницях досліджуваної сукупності.

Середній гармонійний індекс тотожний агрегатному, якщо індивідуальні індекси будуть зважені за допомогою складових чисельника агрегатного індексу.

Наприклад, індекс цін можна обчислити так:

.

Таким чином, вагами при визначенні середнього гармонійного індексу цін є вартість продукції поточного періоду.

Розрахуємо індекси цін і фізичного обсягу продукції за даними табл.11.2 (гр.5-6):

або 160,09%;

або 105,23%.

Середні індекси широко використовуються для аналізу ринку цінних паперів. Найбільше відомими є індекси Доу-Джонса, Стендарда і Пура.

Індекс Доу-Джонса (Dow Jones Industrial Averaqe Index) визначається як середній арифметичний індекс значень курсів акцій, що котируються на Нью-Йоркської біржі. Групові індекси визначаються по цінах акцій 30 промислових, 20 транспортних і 15 компаній сфери послуг. Загальний індекс розраховується по всім 65 компаніях. Їхній перелік був складений у 1928 р. У якості базисного обрана 1920 р. Першопочаткова методика числення індексу була розроблена засновником і редактором найбільшої в США газети «Уолл-стріт джорнел» Чарльзом Доу.

Індекс Стендарда і Пура (Standard and Poor's 500 Stock Index) - індекс, що розраховується по курсам акцій 500 найбільших компаній Нью-Йоркської фондової біржі як середній зважений показник, що враховує загальне число випущених компанією акцій. У число компаній, акції яких включені в індекс, входять 400 промислових корпорацій, 40 - фінансових, 20 - транспортних і 40 - сфери послуг.

5. Вибір бази і ваг індексів

Системою індексів називається ряд послідовно побудованих індексів. Такі системи характеризують зміни, що відбуваються в досліджуваному явищі в перебігу досліджуваного періоду часу.

У залежності від бази порівняння системи індексів бувають базисними і ланцюговими.

Система базисних індексів - це ряд послідовно обчислених індексів того самого явища з постійною базою порівняння, тобто в знаменнику всіх індексів знаходиться індексована величина базисного періоду.

Система ланцюгових індексів - це ряд індексів того самого явища, обчислених із мінливою від індексу до індексу базою порівняння.

Системи ланцюгових і базисних індексів можуть бути побудовані для індивідуальних і загальних індексів. Системи індивідуальних індексів вартості продукції, фізичного обсягу продукції і цін (табл.11.3) прості по побудові.

Аналогічно їм будуються системи індивідуальних індексів і для інших показників.

Між ланцюговими і базисними індексами існують різноманітні види зв'язку.

• Якщо відомі ланцюгові індекси, то шляхом їхнього послідовного перемножування можна одержати базисні індекси. Наприклад,

або

Таблиця 11.3

Системи індивідуальних індексів

Назва індивідуального індексу	Система індексів
	базисних	ланцюгових
Індекс вартості
Індекс фізичного обсягу
Індекс цін

• Знаючи послідовні значення базисних індексів, легко розраховувати на їхній основі ланцюгові індекси:

або

.

Системи базисних і ланцюгових індексів можуть бути побудовані для агрегатних індексів.

Система індексів вартості має такий вид:

• ланцюгові індекси:

;

• базисні індекси:

.

Системою індексів із постійними вагами називається система зведених індексів одного того ж явища, обчислених із вагами, що не змінюються при переході від одного індексу до іншого. Постійні ваги дозволяють виключити вплив зміни структури на розмір індексу.

Наприклад, система базисних індексів фізичного обсягу продукції з постійними вагами (p₀) має такий вид:

,

а систему ланцюгових індексів із тими ж постійними вагами можна уявити так:

.

Система індексів із перемінними вагами являє собою систему зведених індексів того самого явища, обчислених із вагами, що послідовно змінюються від одного індексу до іншого. Перемінні ваги - це ваги звітного періоду. Наприклад, система базисних індексів цін із перемінними вагами така:

Елементами цієї системи є індекси-дефлятори, що необхідні для перерахунку вартісних показників системи національних рахунків у порівняні ціни.

Система ланцюгових індексів цін із перемінними вагами виглядає так:

.

Системи агрегатних індексів мають тими ж властивості, що і системи індивідуальних індексів, тобто, знаючи базисні індекси, можна розрахувати ланцюгові; при наявності ланцюгових індексів легко одержати відповідні їм базисні. Наприклад,

або

або

або

6. ІНДЕКСИ СТРУКТУРНИХ ЗСУВІВ

При вивченні динаміки якісних показників припадає визначати зміну середнього розміру індексованого показника, що обумовлено взаємодією двох факторів - зміною значення індексованого показника в окремих груп одиниць і зміною структури явища. Під зміною структури явища розуміється зміна частки окремих груп одиниць сукупності в загальної їхньої чисельності. Так середня заробітна плата на підприємстві може виростити в результаті росту оплати праці робітників або збільшення частки високооплачуваних співробітників.

Тому що на зміну середнього значення показника надають впливі два чинники, виникає задача визначити ступінь кожного з чинників на загальну динаміку середньої.

Ця задача вирішується за допомогою індексного методу, тобто шляхом побудови системи взаємозалежних індексів, у якому включаються три індекси: перемінного складу, постійного складу і структурних зсувів.

Індексом перемінного складу називається індекс, що виражає співвідношення середніх рівнів досліджуваного явища, що ставляться до різних періодів часу. Наприклад, індекс перемінного складу собівартості продукції того самого виду розраховується по формулі

,

де - індекс перемінного складу.

Індекс перемінного складу відбиває зміну не тільки індексованої величини (у даному випадку собівартості), але і структури сукупності (ваг).

Індекс постійного (фіксованого) складу - це індекс, обчислений із вагами, зафіксованими на рівні одного якогось періоду, і що показує зміну тільки індексованої величини. Індекс фіксованого складу визначається як агрегатний індекс. Так, індекс фіксованого складу собівартості продукції розраховується по формулі

,

де - індекс фіксованого складу.

Під індексом структурних зсувів розуміють індекс, що характеризує вплив зміни структури досліджуваного явища на динаміку середнього рівня цього явища. Індекс визначається по формулі (при вивченні зміни середнього рівня собівартості)

,

де - індекс структурних зсувів.

Система взаємозалежних індексів при аналізі динаміки середньої собівартості має такий вид:

.

Роздивимося застосування такої системи на конкретному прикладі. Нехай є дані про собівартість одиниці продукції на трьох підприємствах у поточних і базисному періодах (табл.11.4).

У поточному періоді в порівнянні з базисним собівартість виробництва продукції зросла на кожному підприємстві (табл.11.4 гр.5-6); змінилася структура виробництва: зменшилася частка першого підприємства в загальному випуску продукції, зросла частка третього підприємства, а частка другого не змінилася (табл.11.4 гр.3-4).

Розрахуємо індекс перемінного складу. Для цього спочатку визначимо середню собівартість одиниці продукції в поточних і базисному періодах:

тис. грн. ;

тис. грн.

Тоді

або 96,75 %.

Таблиця 11.4

Кількість зробленої продукції і собівартість одиниці продукції одного виду по трьох підприємствах галузі

Номер підприємства	Зроблено продукції				Собівартість одиниці продукції, тис. грн.		Індивідуальні індекси собівартості, %	Витрати виробництва, млн. грн.
	усього, одиниць		в процентах до підсумку
	базисний період q0	поточний період q1	базисний період	поточний період	базисний пері од Z0	поточний період Z1		базисний період Z0q0	поточний період Z1q1	Z0q1
А	1	2	3	4	5	6	7=6:5	8=5*1	9=6*2	10=5*2
1 2 3	1680 480 240	1500 600 900	70 20 10	50 20 30	20 18 15	20,3 18,4 15,5	101,5 102,2 103,3	33,6 8,64 3,6	30,45 11,04 13,95	30 10,8 13,5
Разом	2400	3000	100	100	19,10	18,48	-	45,84	55,44	54,3

Отже, середня собівартість по трьох підприємствах знизилася в поточному періоді в порівнянні з базисним на 3,25%, хоча на кожному з них окремо вона зросла. Це - результат того, що обчислений індекс враховує вплив ще і структурного чинника.

Визначаємо індекс собівартості фіксованого складу.

або 102,1%.

Таким чином, собівартість у поточному періоді в порівнянні з базисним зросла в середньому на 2,1%.

Обчислимо вплив зміни структура на динаміку середньої собівартості:

або 94,76%.

Зміна частки підприємств у загальному обсязі зробленої продукції призвело до зниження собівартості на 5,24%.