- •В.Ю. Островлянчик
- •Краткие сведения по истории развития теории автоматического управления (тау)
- •Глава 1. Основные принципы построения систем автоматического управления
- •Основные понятия и определения теории автоматического управления
- •Графическое изображение сау
- •Принципы автоматического управления
- •Принцип разомкнутого управления.
- •Принцип управления по отклонению (Принцип Ползунова-Уатта).
- •Принцип управления по возмущению.
- •Принцип комбинированного управления.
- •Принцип адаптации.
- •Принципы классификации сау
- •Глава 2. Методы математического описания и характеристики линейных сау
- •2.1 Математическое описание линейных сау
- •2.2 Уравнения звеньев системы. Линеаризация
- •2.3 Основные свойства преобразования Лапласа. Понятие о передаточной функции
- •2.4 Примеры составления передаточных функций и структурных схем сау
- •Типовые воздействия и временные характеристики систем (элементов) автоматического управления
- •Единичная ступенчатая функция 1(t).
- •Единичная импульсная функция δ(t).
- •Гармоническое воздействие.
- •Временные характеристики сау.
- •Логарифмические частотные характеристики
- •Глава 3. Характеристики и модели типовых динамических систем управления
- •Общая характеристика линейных динамических звеньев
- •Пропорциональное безинерционное (масштабное) звено
- •Интегрирующее звено
- •Дифференцирующее звено
- •Инерционное (апериодическое) звено
- •Реальное дифференцирующее звено (инерционно-дифференцирующее звено)
- •3.7 Форсирующее звено
- •Общее понятие о колебательном звене
- •Неминимально-фазовые звенья
- •Звенья с запаздыванием
- •Глава 4. Характеристики разомкнутых и замкнутых сау
- •Соединение линейных звеньев
- •Последовательное соединение звеньев.
- •Параллельное соединение звеньев.
- •Передаточные функции замкнутых систем. Встречно-параллельное включение звеньев.
- •Правила преобразования структурных схем
- •Перенос точки приложения возмущающего воздействия.
- •Перенос точки съема внутренних обратных связей.
- •Перемещение суммирующего узла через узел разветвления.
- •Передаточные функции разомкнутых и замкнутых сау
- •Построение частотных характеристик системы по частотным характеристикам звеньев
- •Построение логарифмических частотных характеристик разомкнутой одноконтурной системы
- •Глава 5. Статические режимы сау
- •Понятие статики в теории автоматического управления
- •2 Астатическое регулирование
- •Глава 6. Устойчивость систем автоматического управления
- •1 Понятие об устойчивости
- •Критерий устойчивости Рауса - Гурвица
- •Критерий устойчивости Михайлова
- •Критерий устойчивости Найквиста
- •Влияние на устойчивость параметров и структуры сау
- •Влияние на устойчивость последовательного включения апериодического звена.
- •Включение последовательно со статической сар двухкратноинтегрирующих звеньев.
- •Запас устойчивости сау
- •Суждение об устойчивости по амплитудным и фазовым характеристикам
- •Суждение об устойчивости по логарифмическим амплитудным и фазовым характеристикам
- •Влияние параметров системы на ее устойчивость. Исследование сар построением областей устойчивости (d-разбиения)
- •Построение области устойчивости в плоскости двух параметров
- •Глава 7. Оценка качества управления
- •Понятие о качестве переходных процессов
- •Частотные критерии качества переходного процесса
- •Оценка качества переходного процесса по высокочастотной характеристике замкнутой системы
- •Корневые критерии качества переходного процесса
- •Интегральные оценки качества
- •Глава 8. Коррекция динамических свойств сау
- •Понятие о коррекции динамических свойств сау
- •Последовательные корректирующие звенья в контуре сау
- •Коррекция с помощью интегрирующих звеньев.
- •Коррекция с помощью интегро-дифференцирующих устройств.
- •Параллельные корректирующие звенья. Жесткие корректирующие обратные связи
- •Гибкие обратные связи
- •Идеальная гибкая обратная связь.
- •Гибкая обратная связь по ускорению.
- •Гибкая инерционная обратная связь.
- •Охват обратной связью пропорционального звена с большим kо
- •Глава 9. Синтез корректирующих устройств
- •9.1 Синтез последовательных корректирующих устройств по логарифмическим характеристикам
- •9.2 Синтез параллельной коррекции по обратным афчх
- •9.3 Синтез параллельных корректирующих устройств по лах разомкнутой системы
- •9.4 Понятие о параметрическом синтезе систем автоматического управления
- •Общие принципы синтеза алгоритмической структуры системы управления
- •Осуществление инвариантности в стабилизирующих и следящих системах
- •Глава 10. Построение кривой переходного процесса
- •10.1 Общие соображения
- •10.2 Аналитические методы
- •10.3 Графические методы
- •10.4. Метод математического моделирования на аналоговых вычислительных машинах
- •Глава 11. Математическое моделирование систем автоматического управления на эвм
- •Основы построения цифровых моделей
- •Обзор методов моделирования
- •Методы цифрового моделирования систем автоматического управления электроприводами постоянного тока
- •Список рекомендуемой литературы Основная
- •Дополнительная
- •Содержание
Общее понятие о колебательном звене
Математическое описание колебательного звена выражается следующим дифференциальным уравнением, выражающим связь между выходной величиной Y и входной величиной X:
, (3.79)
Переходя к изображению по Лапласу и рассматривая отношения изображений выходной и входной величин, получим передаточную функцию
, (3.80)
С подобной передаточной функцией мы уже встречались при математическом описании двигателя постоянного тока (2.41).
Так же как и звенья первого порядка, колебательное звено может быть получено путем соединения простейших звеньев. Один из вариантов показан на рисунке 3.7, а.
Дифференциальным уравнением вида (3.79) обладает колебательный контур RLC(рисунок 3.7, б). Входным сигналом цепи является напряжениеU0, а выходной величиной напряжение на конденсатореU.
Определяя передаточную функцию как отношение изображений U(p)/U0(p)или как отношение выходного комплексного сопротивленияк входному
, (3.81)
получим передаточную функцию (3.80) при k=1;
, (3.82)
и
, (3.83)
При рассмотрении дифференциального уравнения (3.79) становится очевидным, что динамические свойства колебательного звена зависят от соотношения постоянных времени T1иT2. Для оценки этого влияния определим корни характеристического уравненияD(p)=0, т.е.
, (3.84)
, (3.85)
где =T2/2T1- коэффициент затухания (декремент затухания).
Коэффициент затухания характеризует динамические свойства звена и является коэффициентом, связывающим постоянные времениТ2иТ1. Учитывая это, удобнее уравнение колебательного звена представлять в виде:
, (3.86)
Из (3.84) следует, что при <1 корни комплексные: при=0корни мнимые, равные; при1корни вещественные.
Рассмотрим характеристики колебательного звена для этих трех случаев.
Колебательное звено (корни комплексные (<1))
Передаточная функция
, (3.87)
Представив p=j,получим частотную передаточную функцию
, (3.88)
Разделяя на вещественную и мнимую части получим
,(3.89)
Амплитудно-фазовая частотная характеристика при различных представлена на рисунке 3.7, в.
Амплитудная частотная характеристика
, (3.90)
Фазовая частотная характеристика (рисунок 3.7, в), изменяется от 0 до -и определяется выражением.
, (3.91)
АЧХ и ФЧХ представлены на рисунке 3.7, г, д.
Логарифмируя выражение (3.90), получим логарифмическую амплитудную частотную характеристику
, (3.92)
ЛАХ для различных значений показаны на (рисунок 3.8, а). Видно, что асимптотическая ЛАХ может быть построена только для определенных значений. Эти значения находятся в пределах0,4 0,7.
В этом случае уравнение асимптотической ЛАХ может быть представлено в виде:
, (3.93)
Асимптотическая ЛАХ при параллельна оси частот, а приимеет наклон -40 дБ/дек.
Асимптотическая ЛАХ представлена на рисунке 3.8,б, а соответствующая ей ЛФХ на рисунке 3.8, в.
Следует иметь ввиду, что при малых коэффициентах демпфирования асимптотическая ЛАХ довольно сильно отличается от точной ЛАХ. Точную ЛАХ можно построить по асимптотической, воспользовавшись кривыми отклонений точных ЛАХ от асимптотических.
Рисунок 3.7 Частотные характеристики колебательного звена
Переходя от изображения (3.87) к оригиналу при единичном воздействии, получим переходную функцию колебательного звена:
, (3.94)
где
, (3.95)
Весовая функция
, (3.96)
Переходные и весовые функции при различных значениях представлены на рисунке 3.9, а, б.
По переходной характеристике (рисунок 3.9,а) можно определить параметры колебательного звена. Для этого необходимо знать значения амплитуд А1иА2двух соседних колебаний и период колебаний Тк.
Тогда можно составить следующие соотношения:
, (3.97)
откуда
, (3.98)
Параметры колебательного звена определим из выражений:
, (3.99)
Рисунок 3.8 Логарифмические характеристики колебательного звена
Рисунок 3.9 Временные характеристики колебательного звена
Консервативное звено (=0)
При =0передаточная функция (3.87) примет вид:
, (3.100)
Частотная передаточная функция:
, (3.101)
Из выражения (3.101) следует, что амплитудно-фазовая характеристика консервативного звена совпадает с действительной осью и начинается на вещественной оси в точке =0 [U()=K] и при подходе к частоте1/Тсо стороны меньших значений уходит в бесконечность в положительном направлении действительной оси. При дальнейшем увеличении частоты характеристика возвращается из бесконечности и стремится к началу координат со стороны отрицательного направления действительной оси (рисунок 3.10, а).
Рисунок 3.10 Характеристики консервативного звена
Таким образом, на частоте =1/Тамплитудно-частотная характеристика консервативного звена имеет разрыв, соответствующий бесконечному возрастанию амплитуды, а фазочастотная характеристика скачком изменяет свое значение от 0 до -180. Тогда фазочастотной характеристике можно поставить в соответствие выражение:
, (3.102)
Графики ЛАХ и ЛФХ приведены на (рисунок 3.10, б).
Переходная функция консервативного звена характеризуется незатухающими колебаниями и описывается уравнением:
, (3.103)
Переходная характеристика (рисунок 3.10, в) представляет собой график гармонических колебаний.
Производная от переходной функции, как было показано ранее, определяет импульсную переходную функцию, которая в то же время может быть определена и как оригинал, имеющий изображение в виде передаточной функции (3.100). Следовательно,
, (3.104)
Апериодическое звено второго порядка (>1)
Если , то корни характеристического уравнения отрицательные и действительные, и звено не является колебательным.
При этом выражение:
, (3.105)
может быть представлено в виде:
, (3.106)
где
, (3.107)
Очевидно, что это апериодическое звено второго порядка можно получить только при .
Апериодическое звено второго порядка можно представить как последовательное соединение двух апериодических звеньев первого порядка. Поэтому оно не относится к числу элементарных звеньев.