4. Построение частотных характеристик системы по частотным характеристикам звеньев

Связь между частотными характеристиками системы и составляющих звеньев определяется выражением для передаточной функции, если подставить в него p=j. Поэтому все соотношения для передаточных функций, полученные для различных соединений звеньев, можно использовать и при построении частотных характеристик.

Тогда амплитудно-фазовая частотная характеристика цепочки последовательно соединенных звеньев разомкнутой системы, согласно (4.1),

, (4.34)

где W_i(j)- амплитудно-фазовая частотная характеристикаi-го звена цепочки. Отсюда

,

т.е.

, (4.35)

где A()и()- амплитудная и фазовая характеристики цепочки звеньев,A_i()и_i()- характеристикиi-го звена.

Построение амплитудно-фазовой характеристики цепочки звеньев непосредственно по амплитудно-фазовым характеристикам отдельных звеньев осуществляется в соответствии с выражением (4.34) путем перемножения векторов W_i(j)при одинаковых значениях частоты.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика группы параллельно соединенных звеньев, согласно (4.2)

, (4.36)

Она строится путем геометрического суммирования векторов W_i(j)при одинаковых частотах.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика звена с обратной связью, согласно (4.4)

, (4.37)

Для графического построения амплитудной и фазовой частотных характеристик используют получаемые из (4.37) следующие формулы:

, (4.38)

На основании выражения (4.38) могут быть получены соотношения, связывающие логарифмические частотные характеристики звена с обратной связью с теми же характеристиками, входящих в систему звеньев W_o(j)иW_oс(j).

Существуют номограммы замыкания, которые позволяют по известным характеристикам разомкнутого контура получить ЛАХ замкнутого единичной обратной связью.

5. Построение логарифмических частотных характеристик разомкнутой одноконтурной системы

Разомкнутая САУ в общем случае состоит из нескольких звеньев, имеющих свои передаточные функции. Передаточная функция всей САУ представляет собой произведение передаточных функций звеньев, как это видно из выражения (4.14). Поэтому выражение для ЛАХ разомкнутой системы в соответствии с (4.35):

(4.39)

Таким образом, логарифмическая амплитудно-частотная характеристика разомкнутой системы может быть получена построением ЛАХ отдельных звеньев САР и последующим их суммированием.

В соответствии с выражением (4.35) ЛФХ разомкнутой системы строится аналогично.

Основное преимущество логарифмических частотных характеристик по сравнению с обычными – операции умножения при построении частотных характеристик заменяются суммированием, причем построение асимптотических логарифмических частотных характеристик оказывается достаточно простым.

Удобство использования асимптотических логарифмических характеристик состоит в том, что они состоят из отрезков прямых линий-асимптот, что в ряде случаев существенно упрощает их построение.

В общем случае, если система состоит из соединенных последовательно интегрирующих, апериодических, колебательных и форсирующих элементарных звеньев, то ее АФХ можно представить в виде

, (4.40)

По известным выражениям для ЛАХ типовых звеньев можно записать:

, (4.41)

Это точное выражение ЛАХ разомкнутой системы. Однако, при построении обычно пользуются асимптотическими ЛАХ.

Для асимптотической ЛАХ можно записать выражение:

, (4.42)

По известным выражениям для фазовых частотных характеристик типовых звеньев САР выражение для ФЧХ разомкнутой системы запишется следующим образом:

,

(4.43)

Анализ выражений (4.41) и (4.43) и асимптотических логарифмических амплитудных характеристик позволяет наметить следующий порядок построения ЛАХ.

1. Вычисляют частоты сопряжения по формулам: и т.д. и наносят их на оси абсцисс.

2. Вычисляют значение 20lgKи откладывают его при частоте=1.

3. Через эту ординату проводят низкочастотную часть характеристики (при <₁) с наклоном -20дб/дек до первой сопрягающей частоты₁ (- порядок астатизма системы, равный числу интегрирующих звеньев).

4. В точке ₁изменяют наклон характеристики в соответствии с тем, какому звену эта сопрягающая частота принадлежит, затем поступают таким же образом при частотеи т.д.

Например, при апериодическом звене наклон изменяют на -20 дб/дек, при форсирующем звене первого порядка на +20 дб/дек и т.д.

5. Пользуясь кривыми для колебательных звеньев с соответствующими , уточняют форму ЛАХ.

6. По формуле (4.43) строят логарифмическую фазовую частотную характеристику разомкнутой системы.

В качестве примера рассмотрим построение ЛАХ и ЛФХ последовательно соединенных звеньев, представляющих из себя тиристорный преобразователь (ТП), генератор (Г) и двигатель постоянного тока с независимым возбуждением. Рассмотрим данную систему при приложении управляющего воздействия (U_у(t)=0; I_c(t)=0). В этом случае передаточная функция двигателя примет вид

, (4.44)

где - передаточный коэффициент двигателя.

В результате получим структурную схему, представленную на рисунке 4.10, а.

Параметры системы заданы:

K_тп=40; K_г=10; K_д=1,2; Т_г=0,5 с; Т_п=0,01 с; Т_э=0,06 с; Т_м=0,3 с.

Прежде чем приступить к построению характеристик, произведем некоторые упрощения. Из сопоставления электромагнитной постоянной времени якорной цепи Т_эи электромеханической постояннойТ_м видим, чтоТ_м>4Т_э, а это означает, что коэффициент демпфирования>1и двигатель может быть представлен двумя последовательно соединенными апериодическими звеньями с постоянными времени:

,

(4.45)

,

(4.46)

Выделив пропорциональное звено с коэффициентом передачи и учитывая (4.44), (4.44), (4.46), получим структурную схему, представленную на рисунке 4.10, б.

Рисунок 4.10 ЛАХ разомкнутой САУ

Вычислим сопрягающие частоты, начиная с той, которая соответствует наибольшей постоянной времени:

, (4.47)

Отмечаем сопрягающие частоты на оси частот (рисунок 4.10, в) и вычисляем ординату при частоте =1. Она равна

, (4.48)

Через эту ординату на участке <₁проводим горизонтальную прямую, поскольку интегрирующие звенья в САР отсутствуют(=0). При частоте₁=2начнется участок наклонной ЛАХ с наклоном -20 дб/дек, так как сопрягающая частота соответствует апериодическому звену:

. (4.49)

При частоте ₂=4,5наклон ЛАХ увеличится еще на -20 дб/дек и составит -40 дб/дек. Такой наклон характеристики сохранится до частоты₃=12,5, при которой ЛАХ приобретет еще добавочный наклон -20 дб/дек, что соответствует апериодическому звену:

, (4.50)

И, наконец, наклон ЛАХ при частоте ₄=100увеличится еще на -20 дб/дек от действия апериодического звена

, (4.51)

Таким образом, начиная с частоты ₄=100ЛАХ имеет наклон -80 дб/дек.

Легко заметить, что ЛАХ (рисунок 4.10, в) могла бы быть также построена суммированием асимптотических ЛАХ отдельных звеньев: безинерционного (пропорционального) и четырех апериодических.

Построение ЛФХ (рисунок 4.10, в) произведено по формуле

, (4.52)