3. Построение области устойчивости в плоскости двух параметров

Допустим, что из nпараметров заданоn-2, а два остальных могут варьироваться.

Пусть интересующие нас параметры AиBвходят линейно в коэффициенты характеристического уравнения (т.е. нет высших степеней). ВыносимAиBза скобки в полиномах . Подставимl=jи разделяем вещественную и мнимую части приD(j)=0, т.е. на границе устойчивости.

,

где

; ;

Вычисляем по правилу Крамера AиB.

Глава 7. Оценка качества управления

1. Понятие о качестве переходных процессов

Начертим переходной процесс при единичном скачке возмущающего и задающего воздействий.

Качество переходного процесса характеризуется числено показателями:

• время переходного процесса t_п- быстродействие (время от начала переходного процесса до момента, когда y примет5%отy_мах).

• максимальное отклонение переходного процесса (перерегулирование).

при воздействии в виде возмущения - - приходящееся на единицу возмущенияf(t)=1(t). При задающем воздействииGопределяется относительно нового установившегося состояния Y_ст.

, (7.1)

Выражение (7.1) описывает колебательность переходного процесса - число колебаний, число минимумов или число перерегулирований за t_п. Иногда колебательность оценивается отношением соседних максимумов.

,

Колебательность выражается в процентах, при этом:

100% - незатухающие колебания ;

0% - неколебательный переходный процесс.

Обычно приемлемое число колебаний – одно - два. Однако, некоторые САР не должны иметь колебаний (например, станы непрерывной прокатки, прецизионные станки, приводы орудий, ракет). Эти требования противоречивы, но приходится искать компромиссное решение.

Рисунок 7.1 Переходный процесс при единичном скачке возмущающего и задающего воздействий

Например, увеличение коэффициента передачи K_рпереходного процесса изменяется от 1 до 3 кривой (рисунок 7.1,а). Выигрывая во времени переходного процесса, проигрываем в перерегулировании и колебательности переходного процесса.

В общем случае переходный процесс определяется решением дифференциального уравнения

;

;

.

Переходный процесс зависит от параметров системы (l_iиC_i), от начальных условий (C_i) и от внешнего воздействияf[Y_уст(t)]и может оказаться, что, например, при одних начальных условиях переходной процесс - апериодический, а при других - колебательный и наоборот. Поэтому при оценке качества переходного процесса необходимо оговаривать воздействие и начальные условия, при которых имеет место данное качество.

Обычно переходныйй процесс оценивается для единичного ступенчатого воздействия при нулевых начальных условиях. Исчерпывающее представление о качестве переходного процесса дает сама кривая переходного процесса y(t).

При синтезе часто надо иметь представление о качестве без построения y(t)по косвенным признакам. Эти косвенные признаки называются критериями качества переходного процесса.

Существуют три группы критерия качества:

1. частотные;

2. корневые;

3. интегральные.

2. Частотные критерии качества переходного процесса

Для минимально-фазовых систем качество можно оценивать по АЧХ замкнутой системы (колебательность и длительность).

На колебательность влияет относительный максимум АЧХ.

Рисунок 7.2 Амплитудно-частотная характеристика

Показатель колебательности:

. (7.2)

Если М<1в (7.2) - т.е. нет «горба» АЧХ - система не колебательна. Чем большеМ, тем больше колебательность.М=¥- незатухающие колебания. Разумным считаетсяМ=1,1¸1,5. При этом система имеет небольшую колебательность с частотой, примерно равной частоте резонанса.

В первом приближении длительность переходного процесса можно оценивать по _рез, так как частота колебанийjприблизительно равна частоте резонанса_рез, то время достижения первого максимума приблизительно равно половине периода колебания этой частоты, т.е.

.

Если считать, что переходной процесс за t_пделает один, два колебаний, то:

.

Время и колебательность переходной характеристики замкнутой системы можно в первом приближении оценить по _срили по запасу по фазеg, модулюh, определенным по ЛАХ разомкнутой системы.

Если h(t)- колебательная, то_рез замкнутой системы примерно равна_ср разомкнутой системы. В этом случае,

.

Если h(t)- не колебательная, то. Колебательность h(t) мала приg³30°,h³6дб.

Для минимально-фазовых систем для оценки колебательности достаточно иметь только ЛАХ. Колебательность допустима, если при _ср наклон ЛАХ разомкнутой системы не более -20дб/дек и чем шире участок с этим наклоном. При этом система устойчива; например, при ширине ЛАХ с наклоном -20дб/дек в 1дек и_срближе к концу участкаG<20-30%.

Исходя из условий качества переходного процесса определяется и требуемая (желаемая) ЛАХ САР. Это важно для синтеза САР.

Качество переходного процесса, как и устойчивость, определяется не всей ЛАХ, а ее среднечастотной частью (вблизи _ср).

Наклон ЛАХ у _срне должен быть более -20дб/дек. Ширина этого участка и величина_ср определяется по заданным t_пи М. Высокочастотная ЛАХ на качество переходного процесса оказывает малое влияние (это высокочастотные помехи). Низкочастотная ЛАХ - статика (для статических САР - горизонтальная, для астатических - наклон -20дб/дек).