5. Охват обратной связью пропорционального звена с большим kо

, (8.17)

если k >> 1, то

. (8.18)

Вывод: если безинерционный усилитель охватить обратной связью, то получим звено с W(p), обратнойW_ос(p)

Если , то, т.е. с помощью дифференцирующего звена в обратной связи можно получить интегрирование и наоборот.

Если , то;

Такой способ получения сложных в реализации передаточных функций нашел широкое применение в АВМ.

Глава 9. Синтез корректирующих устройств

9.1 Синтез последовательных корректирующих устройств по логарифмическим характеристикам

Так как асимптотические ЛАХ достаточно просто строятся по виду , этот метод широко распространился в инженерной практике. Одновременно с построением ЛАХ проверяется и устойчивость и параметры качества и производится синтез корректирующих элементов.

При синтезе коррекции основной задачей является построение желаемой ЛАХ. Рекомендации по построению:

1) ЛАХ нескорректированной системы и желаемая ЛАХ (ЛАХ скорректированной системы) должны в возможно более широком диапазоне частот совпадать друг с другом. В противном случае, реализация корректирующих устройств усложняется. Для статической системы начальный участок горизонтален. Для астатической системы наклон начального участка должен быть -20дб/дек (- порядок астатизма системы). Низкочастотная асимптота при =1имеет ординаты20 lg(k), гдеk- коэффициент усиления системы.

2) Если задана динамическая ошибка системы₁в режиме низкочастотных гармонических колебаний управляющего воздействия при частоте₁, то есть контрольная точка выше которой должна проходить желаемая ЛАХ._дин=W_p^-1(j)А₁, где А₁- амплитуда, х_вх- (управляющее воздействие),Х=А₁sin(_it).W_p(j_i)- модуль комплексного коэффициента усиления разомкнутой системы.

Тогда

(9.1)

Проведение желаемой ЛАХ на 3 дб выше точки с координатами L()и₁ обеспечит динамическую ошибку не больше заданной.

Рисунок 9.1 К построению желаемой ЛАХ

Динамическая ошибка равна частному от деления амплитуды управляющего воздействия на модуль комплексного коэффициента усиления.

3) Построение среднечастотной асимптоты начинают с выбора частоты среза _с. При_с , когдаL_m=20lgA=20 lgW_p(j_i)=0,наклон желаемой ЛАХ желательно выбирать - 20 дб/дек. При этом в минимально-фазовых системах будет обеспечена устойчивость и необходимый запас по фазе.

4) Требуемая частота среза может быть приблизительно оценена следующим образом. Если задана допустимая ошибка _max и оговорены только максимальная скорость_1max и максимальное ускорение_1maxвходного воздействия, то может быть подобрано эквивалентное гармоническое входное воздействие, у которого амплитуды скорости и ускорения равны максимальным заданным значениям т.е.

; (9.2)

. (9.3)

откуда ₁=; x_max=.

тогда ордината контрольной точки

(9.4)

Среднечастотный участок L_жограничен условиями требуемых запасов по фазеи модулюh. Для этого используют специальную номограмму постоянных ВЧХРсплоскостииh. Для этого строят ВЧХ и по заданномуР_maxопределяют Р_min=1-Р_max. На графике номограммы строят прямоугольник определяемый касательными к линиямРminиРmax. По оси ординат определяютh, равный половине высоты прямоугольника, а по оси абсцисс - запас по фазе, равный половине основания этого прямоугольника. Значения запаса устойчивости по модулюh ограничивает среднечастотный участок.

Для определения запасов устойчивости h и можно воспользоваться кривыми (рисунок 9.2).

_с=или если даныt_ппи

_с=гдеt_пп - заданное время переходного процесса.

k - коэффициент определяется в функции заданного перерегулирования.

Рисунок 9.2 Номограмма для определения запасов устойчивости

5) Желательно, чтобы наклоны желаемой ЛАХ меньше отличались от наклонов ЛАХ нескорректированой системы.

6) Желаемую ЛАХ скорректированной системы можно строить по номограммам в соответствии с заданными _m, t_п, t_m, M(их можно найти в специализированной литературе).

При использовании последовательной коррекции W_ск(p)=W_нс  W_к.пс(p)

Для логарифмов модулей:

(9.5)

Характеристики корректирующего устройства из (9.5):

(9.6)

Из (9.6) видно что ЛАХ корректирующего устройства найдется, если из ЛАХ желаемой скорректированной системы L_ск()вычесть ЛАХ нескорректированной системыL_нс().

Далее по найденной L_к()подбирается схема корректирующего устройства и рассчитываются численные параметры.

Рассмотрим это на примере.

Дано: ЛАХ L_нс()системы сW(p)=, гдеT₁>T₂>T₃т.е. три инерционных звена соединенных последовательно, а также задано время переходного процессаt_ПП

Рисунок 9.3. К примеру синтеза последовательного корректирующего устройства

Порядок синтеза

1) Строим L_нс()и_нс().

2) Строим желаемую ЛАХ L_ск()и_нс()так чтобы она больше совпадала сL_нс(), чтобы при_срнаклон был -1 и чтобы удовлетворялся_си_с=.

3) - обычно находится из построения, аиз уравнения фаз при_с. Запишем это уравнение.

В общем случае АФХ для разомкнутой цепи последовательно соединенных звеньев:

, (9.7)

где

 - порядок астатизма системы;

n_i > 0- форсирующие свенья;

n_i < 0- инерционные звенья.

Точные уравнения ЛАХ и ФЧХ для уравнений (9.5 и 9.6):

(9.8)

Уравнение (9.8) записывают для скорректированой системы.

а) Левую часть (_ср)записывают с учетом заданного запаса по фазе_ср.

б) В правую часть записывают члены для =_сри дляT_i=, соответствующие изломамL_ск()

Поскольку L_ск() претерпевает один излом при неизвестной частоте_сп^, то требуется ее определение из (9.8).

4) Вычитают L_ск()-L_нс()=L_к() и получаютL_к().

Теперь задача подобрать схему корректирующего звена с такой характеристикой. В литературе обычно даются эти схемы (таблица 9.1)

Таблица 9.1

Типовые схемы корректирующих устройств

Cхема	W(j)	ЛАХ и ФЧХ

В нашем случае требуется реализовать ЛАХ следующего вида (рисунок 9.4):

Рисунок 9.4 Требуемая ЛАХ корректирующего устройства

L_к()можно представить двумя последовательно соединенными звеньямиL_киL_к(рисунок 9.5).

Рисунок 9.5 Получение требуемой ЛАХ корректирующего устройства из ЛАХ двух типовых корректирующих устройств

L_к=20lg(K_доп), т.е. первое звено усилительное.

L_к- звено №3 (таблица 9.1) (реальное ПД-звено).

Параметры звеньев можно вычислить по сопрягающим частотам ии по высотеL_к. Построение()также не вызывает сложностей.

Пример 2. Пусть имеется САР с W_p(p)=;T_m=0,25 c; К_p=200. Необходимо синтезировать систему с_ср40 с^-1и_с=30. Общий коэффициент усиления синтезированной системы сохранить тем же.

Алгоритм синтеза выглядит следующим образом:

1) Строится L_ж()и_нс(p) (рисунок 9.6). Для этого:

а) Определяется _сп1=

б) Определяется 20lg(К)=20lg20046 дб;

в) Через точку а проводится прямая с наклоном -1 (-20 дб/дек) до _сп1=4;

г) Далее строится асимптота с наклоном -2 (-40 дб/дек);

д) Строится ()

Рисунок 9.6 К примеру 2

2) Анализируются свойства нескорректированной системы. Нескорректированная система устойчива, но с малым запасом устойчивости по фазе (_снс=6). Также система имеет малое быстродействие, т.к._снс=30<_сж=40 с^-1

3) Строится желаемая ЛАХ L_ск(). К ней предъявляются следующие требования:

а) В низкочастотной части (<)должна совпадала сL_нс;

б) В области средних частот должна иметь наклон -20 дб/дек и проходить через точку _с=40 с^-1;

в) При высокой частоте (>) должна идти параллельноL_нс();

г) Частоты сопряжения L_ск() находятся следующим образом:находится из построения (это точка пересечения низкочастотного участка и прямой с наклоном -20 дб/дек, проведенной через_с=40, в данном случае=20 1/с);найдется из уравнения (9.8) из ФЧХ_ск()при частоте среза_с=40 и=30. В данном случае=1.

4) Находится L_к=L_ск-L_нс.

Эта ЛАХ корректирующего устройства соответствует последовательному соединению реального ПД-регулятора и дополнительного усилителя (рисунок 9.7).

Рисунок 9.7. Схема скорректированной системы (к примеру 2)

Корректирующее устройство описывается следущими уравнениями:

, (9.9)

где ,T₂=T₁k,;

Здесь:

; (9.10)

Величину k_допвыбирают из условия совпадения низкочастотной частиL_кс осью. Для этого полагаютk=1, тогда:

k_доп=>1.

4) Определяют численные значения параметров:

В схеме имеется три элемента с неизвестными параметрами R₁,R₂иС, которые находятся из системы (9.10).

Пример 3. Пусть имеется нескорректированная система с передаточной функцией W_нс (p)=.Необходимо увеличить коэффициент усиления САР в 20 раз (на 26дб), не нарушая существенно качества переходного процесса. Допустимо снижение запаса устойчивости по фазе не более 5.

Алгоритм расчета:

1) Строится ЛАХ нескорректированной системы

2) Строится ФЧХ нескорректированной системы.

Из построения видно, что _с=2 с^-1и_с1=56.

3) Чтобы увеличить k_разв 20 раз нужно желаемую ЛАХ в низких частотах поднять на 26 дб, а в средних и высоких частотах L_скдолжна совпасть с L_нс.

По таблице 9.1 выбираем корректирующее звено: упругое интегрирующее звено с последовательно включенным усилительным звеном.

4) Вычисляем ₁и₂(частоты сопряжений) по (9.8). В нашем случае=1;n₁=-1;n_i2=+1;n₃=-1;n₄=-1. Таким образом:

(9.11)

Рисунок 9.8 К примеру 3

С другой стороны:

.

Т.к. ₁=и₂=;; а.

Подставив в (9.11), получим:

Из уравнения: c^-1;c^-1

5) Строится L_ск

6) Строится ЛАХ корректирующего звена L_к=L_ск-L_нс(рисунок 9.9).

Рисунок 9.9 ЛАХ корректирующего звена (к примеру 3)

7) Записываем (вместе с усилителем)

и расчитываем параметры схемы

c.

с.

k_доп=.

Из этих уравнений определятся R₁,R₂иС. Получим следующую схему скорректированной системы.

Рисунок 9.9 Схема скорректированной системы (к примеру 3)