3. Критерий устойчивости Найквиста

Этот критерий позволяет исследовать устойчивость замкнутой системы по частотным характеристикам разомкнутой системы, которые можно получить как аналитически, так и экспериментально. Эти обстоятельства выгодно отличают рассматриваемый критерий от ранее изложенных. Заметим, что критерий Найквиста применим только для систем с единичной обратной связью.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы регулирования

, (6.30)

где D_p(p)- характеристический полином разомкнутой системы.

Передаточная функция системы, замкнутой единичной обратной связью, будет иметь вид:

, (6.31)

где

, (6.32)

Числитель выражения (6.32) представляет характеристический полином замкнутой системы, знаменатель - характеристический полином разомкнутой системы. При этом соблюдается условие m<n, гдеm- степень характеристического полиномаK(p), аn- степень характеристического полинома D(p). Выполнение этого условия обеспечивает удовлетворение равенства

. (6.33)

Рассмотрим три случая состояния разомкнутой системы: устойчива, неустойчива и находится на границе устойчивости, причем в последнем случае характеристическое уравнение разомкнутой системы D_p(p)=0имеет нулевой порядок астатизма, т.е.D_p(p)=p^D₁(p).

1. Система в разомкнутом состоянии устойчива.

Согласно критерию Михайлова, изменение аргумента характеристического полинома устойчивой разомкнутой системы, при изменении от 0 до

.

Если потребовать, чтобы система и в замкнутом состоянии должна оставаться устойчивой, то должно быть удовлетворено равенство:

.

Тогда из (6.32) следует

(6.34)

Таким образом, система автоматического регулирования устойчива, если изменение аргумента вектора F(j)при измененииот0доравно0. Это означает, что годографF(j)(рисунок 6.8, а, кривая 1) для устойчивой системы не охватит начало координат и, наоборот, для неустойчивой системы охватит точку с координатами(0, j0)(рисунок 6.8, а, кривая 2). ПосколькуF(j)отличается отW_p(j)на+1, то условие устойчивости можно получить непосредственно для характеристикиW_p(j)(рисунок 6.8, б).

Приведем формулировку критерия Найквиста для этого случая.

Для устойчивой замкнутой системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента передачи (частотной передаточной функции) разомкнутой системы W_p(j)при измененииот0доне охватывая точку(-1, j0).

Рисунок 6.8 Амплитудно-фазовая характеристика, соответствующая устойчивой и неустойчивой системе

Применим критерий Найквиста для определения предельного коэффициента усиления разомкнутой системы, представленной на рисунке 6.3. Для этого структурную схему преобразуем к виду показанному на рисунке 6.9.

Чтобы определить значение K_кр, необходимо найти значениеK_р, при котором годограф проходит через точку(-1; j0), т.е. решить уравнение

, (6.35)

или

(6.36)

Представив (6.36) в виде действительной и мнимой части, получим:

(6.37)

Рисунок 6.9 Структурная схема

Очевидно, что в выражении (6.37) мнимая часть должна быть равна нулю. Это возможно при соблюдении условия

, (6.38)

Подставляя (6.38) в (6.37) получим

, (6.39)

что совпадает с (6.16).

2. Система в разомкнутом состоянии неустойчива.

При рассмотрении многоконтурных или одноконтурных САУ они могут оказаться неустойчивыми в разомкнутом состоянии, т.е. характеристическое уравнение разомкнутой системы может иметь правые корни.

Пусть система в разомкнутом состоянии неустойчива, при этом характеристическое уравнение разомкнутой системы имеет корней в правой полуплоскости. Тогда результирующий угол поворота вектораD_p(j)будет складываться из следующих составляющих:

1. n-«левых» корней при измененииот 0 дообеспечат угол поворота;

2.  «правых» корней обеспечат отрицательный угол поворота ;

, (6.40)

Если потребовать, чтобы в замкнутом состоянии система была устойчива, то должно выполняться равенство

. (6.41)

При этом с учетом (6.33)

, (6.42)

Отсюда следует формулировка критерия Найквиста: для устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования, неустойчивой в разомкнутом состоянии, необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W_p(j)при измененииот 0 доохватываяраз в положительном направлении точку (-1; j0), где- число корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости. Очевидно, что формулировка критерия Найквиста для первого случая является частным случаем (=0) только что приведенной формулировки.

3. Система в разомкнутом состоянии находится на границе устойчивости.

Передаточная функция в разомкнутом состоянии

, (6.43)

где - число нулевых корней характеристического уравнения системы в разомкнутом состоянии. Этот случай соответствует астатической САУ, причем- порядок астатизма.

В этом случае принцип аргумента, положенный в основу критерия Найквиста не рассматривает варианты, когда корни находятся на мнимой оси. Рассмотрим возможность применения критерия Найквиста для этого случая.

Произведем искусственный сдвиг нулевых корней (p_i=)с последующим предельным переходом(0). Тогда при=1передаточную функцию (6.43) можно записать в виде:

, (6.44)

При этом интегрирующее звено превратилось в инерционное с постоянной времени и коэффициентом усиления равным 1/. Это соответствует смещению влево нулевого корня (рисунок 6.10, а). Частотные годографыW_p(j)иW_p1(j)(рисунок 6.10, б) близки друг к другу. При0они совпадают на всех частотах, кроме=0. ГодографW_p1(j)отличается отW_p(j)наличием дуги бесконечного радиуса, проходящей через IV квадрант и приводящей годограф при0к действительной положительной полуоси (рисунок 6.10, в). Эту часть годографа называют дополнением в бесконечности.

Аналогично строятся измененные частотные годографы при =2,3. В этом случае дополнение проходит через число квадрантов, равное порядку астатизма, т.е. дуга бесконечно большого радиуса описывает уголв отрицательном направлении вокруг начала координат (рисунок 6.10, г).

Для частотных годографов разомкнутых систем, дополненных в бесконечности, можно пользоваться первой формулировкой критерия Найквиста.

Для устойчивой замкнутой системы автоматического регулирования, которая в разомкнутом состоянии находится на границе устойчивости, имея нулевые корни характеристического уравнения, необходимо и достаточно, чтобы частотный годограф комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W_p(j), дополненный в бесконечности, при измененииот 0 доне охватывал точку(-1; j0).

Наиболее общая формулировка критерия Найквиста основана на подсчете числа переходов частотного годографа через отрицательную действительную полуось от -1 до -. При этом переход считается положительным, если при возрастаниигодограф переходит из верхней полуплоскости в нижнюю и отрицательным, если годограф переходит из нижней полуплоскости в верхнюю.

Рисунок 6.10 Частотные годографы

Для устойчивости замкнутой системы автоматического регулирования необходимо и достаточно, чтобы разность между числами положительных и отрицательных переходов частотного годографа комплексного коэффициента передачи разомкнутой системы W_p(j)через отрицательную действительную полуось от -1 до -была равна/2, гдечисло корней характеристического уравнения разомкнутой системы, лежащих в правой полуплоскости.

Для систем находящихся в разомкнутом состоянии на границе устойчивости с нулевыми корнями характеристического уравнения, число считается равным нулю, а годографW_p(j)берется с дополнением в бесконечности.

Рисунок 6.11 Частотные годографы