Глава 2. Методы математического описания и характеристики линейных сау

2.1 Математическое описание линейных сау

Целью исследования любой САУ является анализ ее динамики и статики или синтез. При анализе задана структура САУ и ее параметры. Необходимо исследовать свойства САУ. Задача синтеза наиболее сложная. При синтезе разрабатывается управляющая часть САУ, включая в общем случае выбор принципа управления, типа схемы и параметров управляющего устройства, т.е. заданы свойства - требуется создать САУ.

Для решения этих задач необходимо математическое описание САУ, т.е. получение ее математической модели. При этом САУ, разнообразные по своему конструктивному исполнению и назначению, могут описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями.

Любая система автоматического управления представляет собой совокупность отдельных, взаимодействующих друг с другом элементов соединенных между собой связями. Первым этапом при составлении дифференциальных уравнений является разделение системы на отдельные элементы и составление дифференциальных уравнений этих элементов. При этом систему разбивают на возможно более простые (мелкие) звенья, но так, чтобы каждое звено обладало направленностью действия.

В результате разбиения САУ на звенья направленного действия и получения математического описания звеньев составляется структурная схема системы, в которой каждой математической операции преобразования сигнала соответствует определенное звено.

Структурная схема САУ характеризует ее геометрию, т.е. показывает, из каких элементов состоит САУ, как эти элементы связаны между собой, а так же содержит математическое описание этих элементов.

САУ, какой бы сложной не была, структурная схема ее состоит из четырех типов структурных элементов:

1. структурных элементов направленного действия, представляющих линейные звенья и нелинейные преобразователи, если САУ нелинейная;

2. элементов сравнения или сумматоров, в которых происходит сложение или вычитание сигналов;

3. точек разветвления или узлов, в которых путь распространения сигналов разветвляется на несколько путей, ведущих к различным точкам системы;

4. связей или линий, указывающих направления распространения сигналов.

Составленная таким образом структурная схема позволяет не только облегчить задачу исследования, но и наметить последовательность операций анализа и синтеза. Особенно это ценно, если исследования проводятся на ЦВМ. В этом случае наличие структурной схемы значительно упрощает алгоритмизацию процесса решения систем дифференциальных уравнений, описывающих САУ. В некоторых случаях анализ и синтез САУ без структурного представления становится просто невозможным.

Таким образом, составление структурной схемы является завершающим и наиболее важным этапом математического описания САУ. В результате наглядно отображаются не только взаимосвязи в математической модели, но и предоставляется возможным наметить эффективные пути решения задач анализа и синтеза САУ.

2.2 Уравнения звеньев системы. Линеаризация

Основная сложность при выводе уравнений звеньев состоит в установлении степени идеализации и упрощения звеньев. Главным упрощением является получение линейных дифференциальных уравнений звеньев. Это происходит путем линеаризации нелинейных характеристик звеньев.

Математически линеаризация нелинейных характеристик звеньев определяется разложением нелинейной аналитической функции в ряд Тейлора. Принимается, что движение происходит в пределах малых отклонений от установившегося состояния, а производные имеют единственное и конечное значения, отличное от 0. В противном случае уравнение нелинеаризуемо. Представление аналитической функции в виде ряда, содержащего сумму приращений, основано на использовании теоремы Лагранжа о конечном приращении и теоремы Тейлора, являющейся обобщением теоремы Лагранжа.

Для непрерывной функции Y=f(X), имеющейnнепрерывных производных в замкнутом интервалеaXa+X, формула Тейлора имеет вид

(2.1)

В частном случае, когда а=0, получаем ряд Маклорена:

(2.2)

Если функция зависит от двух переменных, то есть y=f(x,z), то разлагая в ряд, получим

(2.3)

где y₀- значение выходной величиныудля рассматриваемого состояния;

х- нелинейный остаток ряда Тейлора, содержащий отклоненияxиzв данной точке во второй и более высокой степени.

При малых отклонениях от точки у₀величиной нелинейного остаткаХможно пренебречь и (2.3) перепишем в виде

(2.4)

Таким образом, линеаризация производится отбрасыванием нелинейного остатка.

В САУ обычно уравнения составляются в отклонениях от данного состояния, то есть

(2.5)

Подставляя (2.5) в (2.4), то есть вычитая уравнение статики, получим:

(2.6)

Уравнение (2.6) можно привести к безразмерной форме, относя отклонения x,zиук их базисным величинам.

Частные производные в уравнениях, например,означают, что надо в общем виде взять частные производные отfих, после чего вместо переменнойхподставить ее постоянное значениех=х₀. Следовательно, все частные производные уравнения (2.6) представляют собой некоторые постоянные коэффициенты.

Уравнение (2.6) описывает тот же переходный процесс, что и (2.3), но разница между ними следующая:

1. Уравнение (2.6) приближенное, так как отброшены малые высшего порядка (звено идеализировано).

2. Неизвестные не прежние х и z в уравнении (2.3), а отклонения xиzс постоянными коэффициентамии.

Линеаризация нелинейных функций методом малых отклонений графически означает замену кривой отрезками касательной к этой кривой в данной точке А (рисунок 2.1,а). Замена в уравнении (2.4) у=у₀+уэквивалентна переносу начала координат в точку С (рисунок 2.1, б).

Рисунок 2.1 Линеаризация статического звена

Показанная процедура линеаризации нелинейных звеньев приводит к приближенному описанию их линейными дифференциальными уравнениями в отклонениях (вариациях).

Такая линеаризация применима:

1. Только для малых отклонений хоколо установившегося значения.

2. Так как линеаризация основана на разложении функции в ряд Тейлора, она применима только для непрерывно дифференцируемых нелинейностей.

Такие нелинейности называются линеаризуемыми. Если нелинейность не удовлетворяет этим требованиям, то она называется существенно нелинейной.

В теории автоматического управления принята определенная форма записи уравнений элементов и систем.

При этом уравнение (2.6) должно записываться так:

(2.7)

Здесь - оператор дифференцирования по времени;

;- приращения переменных в относительных единицах;

- коэффициенты передачи;

;- постоянные времени.

Такая форма записи имеет следующие особенности:

1. Выходная величина и ее производные находятся в левой части уравнения, а входная величина и ее производные - в правой.

2. Коэффициент при приращении выходной величины равен единице (в результате деления обеих частей уравнения на ).

3. Приращения переменных обозначаются строчными буквами и выражены в относительных единицах.

4. Коэффициенты левой части уравнения - постоянные времени. Размерность их - секунда в степени, равной порядку производной, перед которой стоит данный коэффициент.