8.2Приведение линейной системы к виду, удобному для итерации

Теорема о сходимости итерационного процесса накладывает жесткие условия на коэффициенты линейной системы

Ax = b (1)

однако, если det A 6= 0, то с помощью линейного комбинирования уравнений системы (1) ее всегда можно заменить эквивалентой системой (8) x = + x такой, что условия теоремы о сходимости (следствие 1, пункты 1 и 2) будут выполнены. Умножив уравнение (1) на матрицу

D = A 1 E

где

E = (eij)

с малыми по модулю элементами. Получим

(A 1 E)Ax = Db

или

x = = (A 1 E)A = Db (17)

Если модули jeijj достаточно малы, то система (17) удовлетворяет условию следствия 1 теоремы о сходимости.

Практически иногда поступают так: Из заданной системы выделяют уравнение с коэффициентами, модули которых больше суммы модулей остальных коэффициентов уравнения. Каждое выделенное у-ние выписывают в такую строку новой системы, что наибольший по модулю коэффициент оказался диагональным. Из оставшихся неиспользованных и выделенных у-ний системы составляют линейно-независимые между собой комбинации с таким расчетом, чтобы был соблюден указанный выше принцип комплектования новой системы и все свободные строки оказались заполнеными. При этом нужно позаботится, чтобы каждое неиспользованное уравнение попало хотя бы в одну линейную комбинацию, являющуюся уравнением новой системы.

Пример

24