25 Задача Коши

Найти решение у-ния y = y(x) системы (4) или соответствующего ей векторного у-ния (7), удовлетворяющим

			B	y1(0)
заданным начальным условиям (9), где x0	- фиксированное значение независимой переменной и y0	=		(0)C
			0y2(0)		1
			Byn		C
			B	:::	C
заданная система чисел.			@		A

26Классификация методов приближенного решения дифференциальных у-ний

Методы приближенного решения дифференциальных у-ний в зависимости от формы, в которой они представляют решение можно разделить на 3 основные группы:

1.Аналитические методы, дающие приближенное решение дифференциального уравнения в виде аналитического выражения.

2.Графические методы, дающие приближенное решение в виде графика.

3.Численные методы. Дающие приближенное решение в виде таблицы.

Приведенная классификация является в известной мере условной. Так графический метод ломанных Эйлера дает одновременно способ численного решения дифференциального у-ния.

27 Метод Эйлера

Пусть дано дифференциальное у-ние

y0 = f(x; y) (1)

с начальным условием

y(x0) = y0

Пусть h достаточно малый шаг и

xi = x0 + ih i = 0; 1; ::: (2)

Искомую интегральную кривую y = y(x) проходящую через точку M0(x0; y0) приближенно заменим ломаной M0M1M2::: с вершинами Mi с координатами Mi(xi; yi) i = 0; 1; 2; ::: звенья которой MiMi+1 прямолинейны между прямыми x = xi и x = xi+1 и имеют наклон (тангенс угла наклона)

yi+1 yi = f(xi; yi) (3)

h

эта и есть так называемая ломанная Эйлера.

Звенья MiMi+1 ломанной Эйлера в каждой вершине Mi имеют направление (тангенс угла наклона), совпадающее с направлением интегральной кривой уравнения (1), проходящей через точку Mi. Из формулы (3) следует, что

yi+1 = yi + hf(x; y) (4)

27.1Достоинства и недостатки метода Эйлера

Достоинство:

Метод Эйлера является простейшим численным методом Недостаток:

Малая точность.

Систематическое накомпление ошибок.

61