Часть II

Вычислительные методы линейной алгебры

5Векторы и матрицы. Основные определения

Система mxnчисел, расположенных в виде прямоугольной таблицы из m строк и n столбцов:

01

	a11	a12	:::	a1n	C
	a21	a22	:::	a2n
Ba		a	:::	a
A =		m2		mnC
B m1			:::
@	:::	:::		:::	A

называется числовой матрицей. Числа aij называются элементами матрицы. i = 1; 2; :::; m j = 1; 2; :::; n. Первый индекс i обозначает номер строки, второй j номер столбца.

Сокращенная запись

A = (aij) i = 1; :::; m j = 1; :::; m A = (aij)m;n (1)

Если m = n, то матрица называется квадратной, иначе прямоугольная, в частности матрица 1xn векторная строка, mx1 векторный столбец.

Квадратная матрица

A =	0a21		a22	::: a2n		1
		a11	a12	:::	a1n
	Ba		a	:::	a	C
	B n1		n2	:::	nnC
	@	:::	:::		:::	A

Диагональная

01

	B	a11	0	:::	0	C
A =		0	a22	:::	0		(2)
		:::	:::	:::	:::
	B					C
	@					A

00 ::: ann

Если при этомaii = 1 i = 1; 2; :::; n то диагональная матрица называется единичной и обозначается буквой E

	0				1
	B	1	0	:::	0
		0	1	:::	0
		0	0	:::	1 C
E =	B	:::	:::	:::	C
	@				A

С квадратной матрицей A = (aij) связан определитель или детерминант

		a11				a12	:::	a1n
det A =			a21			a22	:::	a2n
		a			n1	a	:::	a
						n2	:::	nn
			:::			:::		:::
Определитель	; P2
1				n
det A =	;:::;				( 1)ka1 1 a2 2 :::an n (3)

где сумма (3) вычисляется по всевозможным перестановками ( 1; 2; :::; n) и содержит n! слагаемымых, причем k = 0 если перестановка четная и k = 1 если перестановка нечетная. Квадратная матрица A называется неособенной или невырожденной, если ее определитель не равен 0, и называется особенной (вырожденной) в противном случае.

15

5.1Элементарные преобразования матриц

Следующие операции над матрицами:

1. Умножение какой-либо строки на число. Равносильна умножению матрицы слева на матрицу

0 1

1 0

B 1

C

BC

B CA

BC

@1 A

01

2.Добавление к элементам какой-либо строки чисел, пропорциональных элементам какой-либо предыдущей строки. Равносильна умножению слева на матрицу

01	1	1	01A
B			C
B			C
@			A

01

3.Добавление к элементам какой-либо строки чисел, пропорциональных элементам какой-либо последующей строки. Равносильна умножению слева на матрицу

01	1	01A
B	1	C
B		C
@		A

01

4.Перестановка двух строк

Ианалогичные преобразования над столбцами называют элементарными преобразованиями матриц. Все они не меняют ранга матриц.

Всякое элементарное преобразование над строками равносильно умножению матрицы слева на некоторую неособенную матрицу специального вида. Операции 1-3 над столбцами осуществляются посредством умножения на теже матрицы справа. Результат нескольких преобразований 1,2 равносилен умножению матрицы слева на некоторую нижнию треугольнюю матрицу

	0 21			22	0		:::		0	1
	B	11		0	0		:::		0	C
C =		31		32	33		:::		0	C
	B		n1			n3 ...
	B			n2					nnC
	B	:::		:::	:::		:::	:::		C
	@									A

Результат нескольких преобразований вида 1, 3 равносилен умножению слева на верхнюю треугольнюю матрицу B.

5.2Подобные матрицы

Две матрицы A и B подобны тогда и только тогда, когда выполняется соотношение

B = S 1AS ( )

S некотороя невырожденная матрица. Из ( ) следует, что

A = SAS 1

16