где

	(b a)		3		f00( )+f	00( )+:::+f			00(		)
Rn =				0		2				n 1
		24n2					n
так как второй сомножитель удовлетворяет неравенству
m 6	f	00( )+f00( )+:::+f					00(	)		6 M
		0			2		n 1
					n

то он равен какому-либо из значений производной f00( ), поэтому окончательно получим

Rn = (b a)3 f00( ) a 6 6 b

24n2

20 Квадратурные формы Ньютона-Котеса

b

Пусть для ф-и y = f(x) необходимо вычислить интеграл ydx. Пусть h = b na и

a

x0 = axi = a + ih i = 0; 1; 2; :::; n 1 xn = b yi = f(xi) i = 0; 1; 2; :::; n

Заменяя ф-ю y соответствующим интерполяционным полиномом Лагранжа получим приближенную квадратурную формулу

bn

P

ydx = Aiyi(1)

ai=0

Ai - некоторый коэффициент. Найдем явные формулы для коэффициента Ai. Полином Лагранжа:

				n
				iP
		Ln(x) = pi(x)yi (2)
			=0
где
pi(x) =		(x x0):::(x xi 1)(x xi+1):::(x xn)				(3)
	(xi x0):::(xi xi 1)(xi xi+1):::(xi xn)
Введя обозначения
		q = x x0 (4)
				h
	q[n+1] = q(q 1):::(q n) (5)
получим, что полином
			n ( 1)n 1		q[n+1]
		iP			q i yi (6)
	Ln(x) =		=0 i!(n i)!

Заменяя в формуле (1) функцию y полиномом Ln(x) в силу формулы (6) получим:

Так как q =

получим

xn ( 1)n 1 q[n+1]
0
Ai = x	i!(n i)! q i	dx

x hx0 , то произведя замену переменных

x = hq + x0 и dx = hdq

( 1)n i n q[n+1]

Ai = h i!(n i)! q i dq i = 0; 1; :::; n (7)

0

53