11 Частная проблема собственных значений

Для определения одного или нескольких собственных значений применяются как правило итерационные методы. Простейшим итерационным методом является степенной.

11.1Определение наибольшего по модулю собственного значения матрицы

Пусть 1; :::; n - собственные значения матрицы A.

1. Среди собственных значений матрицы A есть одно наибольшее по модулю. Предположим, что

j 1j > j 2j > ::: > j nj (1)

Полагаем, что 1 - действительное. Положим, что y - произвольный вектор n-мерного пространства. Разложим его по собственным векторам x(j)матрицы A

n

y = Pcjx(j)

j=1

n

Ay = PcjAx(j)

j=1

cj - некоторые коэффициенты. Так как x(j)- собственный вектор матрицы A, то

Ax(j) = jx(j)

Получим

n

Ay = Pcj jx(j)

j=1

Назовем Ay итерацией вектора y и последовательно образуем Ay, A2y, ... ,Amy. В итоге получим

n

Amy = Pcj mj x(j) (2) j=1

Выберем в пространстве En = fyg базис e1; :::; en(не обязательно единичный). Обозначим

0 1

y1(m)

Amy = y(m)m = 1; 2; ::: y(m) = By2(m)C

B C

B ::: C

@ A

yn(m)

где yi(m) - i-ая координата вектора y в выбранном базисе.

Разлагая собственные векторы x(j) по векторам выбранного базиса получим

n

x(j) = Pxijei(3) i=1

Подставляя (3) в (2) получим

	n	n	xijei =			n			n
y(m) =		cj jm					ei		cjxij jm (4)
	P	iP				P		P
	j=1	=1				i=1			j=1

39

Коэффициенты при векторах ei есть i-такая координата вектора y(m). Следовательно

n

y(im) = Pcjxij mj (40) j=1

а следующая итерация

n

y(im+1) = Pcjxij mj +1 (400) j=1

Разделив вторую сумму на первую, получим

y(im+1) = c1xi1 m1 +1+:::+cnxin mn +1 (5) y(im) c1xi1 m1 +:::+cnxin mn

Предположим, что c1 6= 0 xi1 6= 0. Этого можно добиться выбирая надлежащим образом вектор y и базис (e1; :::; en). Преобразуем (5)

m+1

m+1

(m+1)

1+

c2xi2 2

+:::+

cnxin n

m+1

m+1

yi

= 1

c1xi1 1

c1xi1 1

(m)

c

x

i2

m

c

n

x

in

m

yi

1+

2

2

+:::+

n

c1xi1

m

m

1

c1xi1 1

При m ! 1 получим

(m+1)

lim yi (m) = 1 (6)

m!1 yi

так, как

lim ( j )m = 0 j = 2; 3; :::; n

m!1 1

2.Наибольшее по модулю собственное значение является действительным и кратным. В случае 2 наибольшее по модулю собственное значение находится так же, как и в случае 1.

3.Два наибольших по модулю собственных значения вещественны и противоположны по знаку. В случае 3 значение

		2m+2					2m+1
2	=	yi		или 2	=	yi
		y	2m			2m			1
1			i	1		y	i

4. Наибольшие по модулю собственные значения образуют простую комплексныю пару (действительные части одинаковы, мнимые отличаются только по знаку) Пусть 1и 2 комплекно-сопряженные, наибольшие по модулю собственные значения.

j 1j > j 3j > ::: > j nj

Запишем формулу (40) в ином виде, для этого опустим индекс i, указывающий на координату y(m). Получим

n

y(m) = Pcjxj mj j=1

Номер итерации будем указывать в виде нижнего индекса и обозначим cjxj = aj Получим

ym = a1 m1 + a2 m2 + ::: + an mn

Положим

40

p = ( 1 + 2) q = 1 2 (8 )

Тогда 1; 2 будут корнями квадратного у-ния

t2 pt + q = 0

Коэффициенты p и q могут быть определены из следующих соображений: пусть m настолько велико, что

ym a1 m1 + a2 m2

Тогда

ym+1 + pym + qym 1 a1 m1 1( 21 + p1 1 + q) + a2 m2 1( 22 + p 2 + q) = 0 (9)

Аналогичные приближенные равенства

zm+1 + pym + qzm 1 0 (10)

будут справедливы для любой другой компоненты zm.

Таким образом получена система из двух линейных у-ний с двумя неизвестными p и q. После определения p и q из формул (8 ) могут быть найдены собственные значения 1; 2

41