Часть IV

Собственные значения и собственные векторы матриц

Пусть дана квадратная матрица A = (aij) размерности nxn и n-мерный вектор-столбец x.

Определение 1. Ненулевой вектор называется собственным вектором данной матрицы (или определяемого ею линейного преобразования), если в результате соотвествующего линейного преобразования этот вектор переходит в коллинеарный ему т.е. если преобразованный вектор отличается от исходного только скалярным множителем.

Определение 2. Вектор x 6= 0 называется собственным вектором матрицы A, если эта матрица переводит вектор x в вектор

Ax = x (1)

Число , стоящее в равенстве (1) называется собственным значением или характеристическим числом матрицы A, соотвествующему данному собственному вектору x.

Запишем (1) в виде

(A E)x = 0 (2)

Матрица A E характеристическая матрица. У-ние (2) - линейная однородная система, которая имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда определитель системы

det(A E) = 0 (3)

Определитель в левой части (3) называется характеристическим определителем матрицы A. А у-ние (3) (относительно ) называется характеристическим у-нием матрицы A.

В развернутом виде у-ние (3) запишется так:

	a21		a22	:::		a2n		= 0 (4)
	a11		a12	:::		a1n
	a	n1	a	:::	a	nn
			n2	:::
	:::		:::			:::

( )n + 1( )n 1 + 2( )n 2 . . . + n = 0 (5)

характеристический полином матрицы A. Его коэффициенты i i = 1; 2; :::; n определяются по следующим

правилам:

n

P

1 = aii след матрицы A.

i=1

2 сумма всех главных миноров второго порядка матрицы A

k сумма всех диагональных миноров k-отого порядка матрицы An = det A

Под полной проблемой собственных значений понимается проблема нахождения всех собственных значений матрицы A и всех собственных векторов.

Под частичной проблемой собственных значений понимается подразумевают задачу нахождения одного или нескольких собственных значений и соотвествующих им собственных векторов.

10 Полная проблема собственных значений

Большинство методов решения полной проблемы собственных значений включает предварительное вычисление коэффициентов характеристического полинома, минуя вычисление многочисленных миноров. Собственные значения вычисляются затем по какому-либо методу приближенного вычисления корней полинома.

30