b

ydx = h3 (y0 + 4y1 + y2) + h3 (y2 + 4y3 + y4) + ::: + h3 (y2m 2 + 4y2m 1 + y2m)

a

Отсюда получим общую формулу Симпсона

b

ydx = h3 [(y0 + y2m) + 4(y1 + y3 + ::: + y2m 1) + 2(y2 + y4 + ::: + y2m 2)] (3)

a

Если ф-я f(x) имеет на интервале [a; b] производные вплоть до четвертого порядка, то погрешность формулы Симпсона на каждом удвоенноем промежутке [x2k 2; x2k] k = 1; 2; :::; m определяется формулой (2)

R = h905 yIV ( k)

где k 2 (x2k 2; x2k)

Суммируя все эти ошибки получим погрешность общей формулы Симпсона

m

R = h905 P yIV ( k) k=1

Так как yIV (x) непрерывна на отрезке [a; b], то найдется точка 2 [a; b] такая, что

m

yIV ( ) = m1 P yIV ( k) k=1

Отсюда следует, что

R = mh905 yIV ( ) = (b 180a)h4 yIV ( ) h = b2ma (4)

23 Приближенное (численное) дифференцирование

Если аналитическая выражение для ф-и f(x) очень сложно, то прибегают к приближенному дифференцированию. Для вывода формул приближенного дифференцирования заменяют данную ф-ю f(x) на отрезке [a; b] интерполирующей ф-ей (чаще всего полиномом) P (x) и полагают, что

f0(x) = P 0(x) (1)

на интервале [a; b]. Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков. Если для интерполирующей ф-ии известна погрешность

R(x) = f(x) P (x)

то погрешность производной P 0(x) определяется формулой

r(x) = f0(x) P 0(x) = R0(x) (2)

23.1Формулы приближенного дифференцирования, основанные на первой интерполяционной формуле Ньютона

Пусть ф-я y(x) задана с помощью значений

yi = f(xi)

в равноотстоящих точках xi i = 0; 1; :::; n отрезка [a; b] Для определения производных

y0 = f0(x)

y00 = f00(x)

и т.д.

57

заменим ф-ю y первым интерполяционным полиномом Ньютона, построенного для точек x0; x1; :::; xk k 6 n. Получим

y(x) = y0

+ q y0

+

q(q 1)

2y0

+

q(q 1)(q 2)

3y0

+

q(q 1)(q 2)(q 3)

4y0 + ::: (1)

2!

3!

4!

где

q = x x0

h = x

x

i

i = 0; 1; :::

h

i+1

Произведя в (1) перемножение биномов получим

y(x) = y0 + q y0 + q2 q

2y0

+ q3 3q2+2q 3y0 + q4 6q3+11q2 6q 4y0 + ::: (10)

2

6

24

Так как

dy

= dy dq

= 1 dy

dx

dq dx

h dq

то

y0(x) =

1 [ y0

+

2q 1 2y0 + 3q2 6q+2 3y0 +

2q3 9q2+11q 3 3y0 + :::] (2)

h

2

6

12

Так как

y00(x) = dy0

= dy0 dq =

1 dy0

dx

dq dx

h dq

то

y00(x) =

1

[ 2y

0

+ (q

1) 3y

0

+ 6q2 18q+11

4y

0

+ :::] (3)

2

h

12

Аналогично вычисляются и производные высших порядков.

58

Часть VII

Приближенное (численное) решение обыкновенных дифференциальных уравнений

Пусть дано обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка

y0 = f(x; y) (1)

Задача Коши для этого уравнения формулируется так: Найти решения у-ния (1)

y = y(x) (2)

удовлетворяющее начальному условию

y(x0) = y0

Если f(x; y) непрерывна в области R, определяемой неравенствами jx x0j < a и jy y0j < b, то существует хотя бы одно решение (2), определенное в некоторой области jx x0j < h, где h > 0. Это решение единственное, если в области R выполнено условие Липшица

jf(x; ye) f(x; y)j 6 Njye yj

N - постоянная Липшица, зависимая в общем случае от a и b.

Если f(x; y) имеет ограниченную производную f0(x; y) в области R, то можно положить

N = max jfy0 (x; y)j

при (x; y) 2 R

Для дифференциального у-ния n-ого порядка

y(n) = f(x; y; y0; :::; y(n 1))

задача Коши состоит в нахождении решения

y = y(x)

удовлетворяющего начальным условиям

y(x0) = y0

y0(x0) = y00

...

y(n 1)(x0) = y0(n 1)

где x0; y0; y00 ; :::; y0(n 1)- заданные числа.

59

24 Нормальная система дифференциальных уравнений

Определение. Нормальной системой n-ого порядка обыкновенных дифференциальных уравнений называют систему

8dy1

>> dx

>dy2

<

dx

>:::

>

>

:dyn dx

= f1(x; y1; :::; yn)

= f2(x; y1; :::; yn)

(4)

= fn(x; y1; :::; yn)

где x - независимая переменная, y1; y2; :::; yn искомые ф-и.

Систему, содержащую производную высших порядков и разрешенную относительно старших производных искомых ф-ий можно путем введения новых неизвестных ф-ий привести к виду (4). В частости к виду (4) можно привести обыкновенное дифференциальное уравнение n-ого порядка

y(n) = f(x; y; y0; :::; y(n 1)) (5)

Положим

y0 = y1

y00 = y2

...

y(n 1) = yn 1

тогда положим

dxdy = y1

dy1

= y2

dx

...

dyn

= f(x; y ; y

; :::; y

n 1

)

dx

1

2

y1

dy1

dx

dy

=

0y21 dxdy

=

0 dx2

1

y

:::

C

:::

By

Bdyn C

B

nC

B dx

C

@

A

@

A

0 1

f1

f = Bf2C - заданная вектор-функция

B C

@:::A fn

Тогда систему (4) можно записать в таком виде:

dxdy = f(x; y) (7)

Под решением системы (4) подразумевается любая совокупность функций

y1 = 1(x) y2 = 2(x) ... yn = n(x) (8)

которая при подстановке в систему (4) обращает ее в тождества.

Т.к. система дифференциальных уравнений имеет бесчисленной множество решений, то для выделения одного конкретного решения

y = y(x)

необходимы дополнительные условия.

В простейшем случае задается система чисел

y(x0) = y(0)(9)

что приводит к задаче Коши

60