14.1Конечные разности для обобщенной степени

Положим h = x. Для первой конечной разности обобщенной степени имеем

x[n] = (x + h)[n] x[n] = (x + h)x:::[x (n 2)h] x(x h):::[x (n 1)h] =

x(x h):::[x (n 2)h] (x + h x + (n 1)h) = x(x h):::[x (n 2)h] nh. Следовательно, получена следующая формула

x[n] = nhx[n 1] (2)

Найдем вторую разность

2x[n] = ( x[n]) = (nhx[n 1]) = nh(n 1)hx[n 2] = h2n(n 1)x[n 2]

В общем случае методом математической индукции доказано, что

kx[n] = hkn(n 1):::[n (k 1)]x[n k], где k = 1; 2; :::; n

При k > n конечная разность

kx[k] = 0

15 Первая интерполяционная формула Ньютона

Пусть для ф-и y = f(x) заданы значения yi = f(xi) для равноотстоящих значений независимой переменной xi = xi + ih i = 0; 1; :::; n

где h - шаг интерполяции.

Требуется подобрать полином Pn(x) степени не выше n, принимающий в точках xi значения

Pn(xi) = yi (1)

Условия (1) эквиваленты тому, что конечные разности

mPn(x0) = my0 при m = 0; 1; :::; n

Будем искать полином Pn(x) в виде

Pn(x) = a0 + a1(x x0) + a2(x x0)(x x1) + a3(x x0)(x x1)(x x2) + ::: + an(x x0)(x x1):::(x xn 1) (2)

Пользуясь обобщенной степенью выражение (2) запишем по-иному:

Pn(x) = a0 + a1(x x0)[1] + a2(x x0)[2] + a3(x x0)[3] + ::: + an(x x0)[n] (20)

Определим коэффициенты для полинома Pn(x). Полагая x = x0 в выражении (20), получим, что

Pn(x0) = y0 = a0

Чтобы найти коэффициент a1 составим первую конечную разность

Pn(x) = a1h + 2a2(x x0)[1]h + 3a3(x x0)[2]h + ::: + nan(x x0)[n 1]h

Полагая в последнем выражении x = x0, получим

Pn(x0) = y0 = a1h

Отсюда

a1 = y0

1!h

Для определения a2 составим конечную разность второго порядка

45

2Pn(x) = 2!a2h2 + 2 3a3(x x0)[1]h2 + ::: + (n 1)nan(x x0)[n 2]h2

Положив x = x0, получим

2Pn(x0) = 2y0 = 2!h2a2 a2 = 2y20 2!h

Последовательно продолжая этот процесс получим

ai = iyi0 , где 0! = 1 0y0 = y0

i!h

Подставляя найденные значения коэффициентов ai в выражение (20) получим интерполяционный полином Ньютона

	2				n
Pn(x) = y0 + 1!yh0 (x x0)[1]	+	y0	(x x0)[2]	+ ::: +	y0	(x x0)[n] (3)
		2!h2			n!hn

Для практического использования формулу (3) записывают в ином виде. Для этого вводят новую переменную q = x hx0 , тогда

(x x0)[i]

= x x0 x x0 h x x0 2h :::

x x0 (i 1)h

= q(q

1)(q

2):::(q

i + 1) i = 1; 2; :::; n

hi

h

h

h

h

Подставляя q в формулу (3), получим

Pn(x) = y0 + q y0

+

q(q 1)

2y0 + ::: +

q(q 1):::(q n+1)

ny0

2!

n!

Это и есть окончательный вид первой интерполяционной формулы Ньютона

16 Вторая интерполяционная формула Ньютона

Пусть дана система значений ф-и

yi = y(xi) i = 0; 1; 2; :::; n

для равноотстоящих значений аргумента

xi = x0 + ih

Построим интерполирующий полином следующего вида

Pn(x) =

a0 +a1(x xn)+a2(x xn)(x xn 1)+a3(x xn)(x xn 1)(x xn 2)+:::+an(x xn)(x xn 1)(x xn 2):::(x x1)

Используя обобщенную степень, получим

Pn(x) = a0 + a1(x xn)[1] + a1(x xn 1)[2] + a1(x xn 2)[3] + ::: + an(x x1)[n] (1)

Необходимо определить коэффициенты a0; a1; ::::; an чтобы полином был равен

Pn(xi) = yi i = 0; 1; :::; n

Для этого необходимо и достаточно, чтобы разности

iPn(xn i) = iyn i i = 0; 1; :::; n (2)

Положим в формуле (1) x = xn. Получим, что

Pn(xn) = yn = a0

Берем от левой и правой частей формулы (1) конечны разности первого порядка

Pn(x) = a1h + a22h(x xn 1)[1] + a33h(x xn 2)[2] + ::: + annh(x x1)[n 1]

Полагая здесь x = xn 1и учитывая соотношение (2), получим, что

46

Pn(xn 1) = yn 1 = a1h

a = yn 1

1 h

Найдем вторую конечную разность от полинома Pn(x)

2Pn(x) = a22!h2 + a33 2h2(x xn 2)[1] + ::: + ann(n 1)h2(x x1)[n 2]

Полагая здесь x = xn 2, получим

2Pn(xn 2) = 2yn 2 = a22!h2

a2 =

2yn 2

2! h2

Применяя метод мат. индукции можно доказать, что

ai =

iyn i

i = 0; 1; 2; ::: (3)

i!hi

Подставляя эти значения в (1) получим

Pn(x) = yn +

yn 1

(x

xn) +

2yn 2

(x xn)(x xn 1) +

3yn 3

(x xn)(x xn 1)(x xn 2) + ::: +

h

2!h2

3!h3

xn)(x xn 1)(x xn 2):::(x x1) (4)

Вторая интерполяционная формула Ньютона.

Обозначим q =

x hxn

, тогда

x xn 1

= x xn+h

= q + 1

h

h

x xn 2

= x xn+2h = q + 2

h

h

Подставляя эти значения в формулу (4), получим

P

n

(x) = y

n

+ q y

n 1

+

q(q+1)

2y

n 2

+

q(q+1)(q+2)

3y

n 3

+ ...+

q(q+1)(q+2):::(q+n 1)

ny

0

(40)

2!

3!

n!

обычный вид интерполяционной формулы Ньютона

nyn0 (x n!h

17Интерполяционная формула Лагранжа (для произвольных узлов интерполирования)

Пусть на отрезке [a; b] даны n + 1 различных значений аргумента x0; x1; :::; xn и известны значения в этих точках

f(x0) = y0 f(x1) = y1

...

f(xn) = yn

Требуется построить полином Ln(x) степени не выше n, имеющий в заданных узлах те же значения, что и ф-я f(x). То есть такой, что

Ln(xi) = yi i = 0; 1; :::; n

Сначала решим частную задачу. Построим полином pi(x) такой, что

(

pi(xj) = ij = 0	i 6= j	(1)
1	i = j

47