Часть VI

Приближенное интегрирование функций

Пусть требуется вычислить определенный интеграл

b

f(x)dx (1)

a

где f(x) заданная на интервале [a; b] непрерывная ф-я. Если известна первообразная F (x) этой функции, то интеграл может быть найден по формуле Ньютона-Лейбница

b

f(x)dx = F (b) F (a)

a

Если первообразная F (x) не может быть найдена, то для вычисления интеграла (1) прибегают к приближенным или численным методам. Задача численного интегрирования ф-и заключается в вычислении определенного интеграла на основании ряда значений подинтегральной функции.

Численное или приближенное вычисление однократного интеграла называется механической квадратурой, а двойного - механической кубаторой. Соотвествующие формулы называются квадратурными и кубатурными формулами.

19 Формула прямоугольников

Будем истолковывать определенный интеграл как площадь некоторой фигуры, ограниченной кривой y = f(x). Используя соображения, приводящие к понятию определенного интеграла разобъем все фигуры на рисунке на полосы одинаковой длины x = b na . Каждую полосу приближенно заменим прямоугольником, за высоту которого примем какую-либо из ее ординат. Получим, что

b

f(x)dx b na [f( 0) + f( 1) + ::: + f( n 1)] (2)

a

где xi 6 i 6 xi+1 i = 0; 1; ::; n 1

На практике берут

= xi+xi+1 = x

i 2 i+1=2

Обозначим соответствующую среднюю ординату как

f( i) = f(xi+1=2) = yi+1=2

Тогда (1) примет вид

b

f(x)dx b na [y1=2 + y3=2 + ::: + y(n 1)=2] (3)

a

19.1Погрешность формулы прямоугольников

В простейшем случае, при n = 1 формула (3) имеет вид

b

f(x)dx (b a)f(a+2 b ) (4)

a

Предположим, что на промежутке [a; b] имеет непрерывные первую и вторую производную. Тогда разлагая f(x) по формуле Тейлора по степеням разности

x a+2 b

получим

51

f(x) = f(a+2 b ) + (x a+2 b )f0(a+2 b ) + 12 (x a+2 b )2f00(e)

где e2 [x; a+2 b ].

Проинтегрируем последнее равенство в интервале [a; b]. Так как

b
(x a+2 b )dx = 0 (5)
a
то получим, что
b	21	b	( )(x a+2 b )2dx
f(x)dx = (b a)f(a+2 b ) +		f00
			e
a		a

Следовательно, погрешность формулы (4) имеет вид

b

= 12 f00(e)(x a+2 b )2dx (6)

a

Обозначим m и M соотвественно наименьшие и наибольшие значения производной f00(x) на интервале [a; b]. Так как второй множитель в подинтегральном выражении не меняет знака, то пользуясь обобщенной теоремой о среднем значении можно написать

= 1	b	( )(x a+b )2dx = (b a)3			(7)
	f00
		e	2
2				24

a

где m 6 6 M.

19.1.1 Обобщенная теорема о среднем

Пусть

1.ф-и f(x) и g(x) интегрируемы на интервале [a; b]

2.m 6 f(x) 6 M

3.g(x) не меняет знака на [a; b]

Тогда

bb

f(x)g(x)dx = g(x)dx

aa

где m 6 6 M

Так как f00(x) непрерывна на [a; b], то в интервале [a; b] найдется такая точка , что

= f00( )

Следовательно

= (b a)3 f00( ) (8)

24

Если теперь разделить промежуток [a; b] на n равных частей, то для каждого промежутка [xi; xi+1] будем иметь точную формулу

xi+1		b	a		(b a)3
xi	f(x)dxi =		n	f(xi+1=2) +		f00( i )
					24n3

где xi 6 6 xi+1

Сложив эти равенства, при i = 0; 1; 2:::; n 1 получим,что

b

f(x)dx = b na (y1=2 + y3=2 + ::: + y(n 1)=2) + Rn

a

52