где ij - символ Кронекера.

Так как искомый полином pi(x) обращается в 0 в n точках x0; :::; xi 1; xi+1; :::; xn, то он имеет вид pi(x) = ci(x x0)(x x1):::(x xi 1)(x xi+1):::(x xn) (2)

Полагая pi(xi) = 1 получим

ci(xi x0)(xi x1):::(xi xi 1)(xi xi+1):::(xi xn) = 1

Отсюда коэффициент

ci =	1
	(xi x0)(xi x1):::(xi xi 1)(xi xi+1):::(xi xn)
Подставляя это значение коэффициента в формулу (2) получим
pi(x) =	(x x0)(x x1):::(x xi 1)(x xi+1):::(x xn)	(3)
	(xi x0)(xi x1):::(xi xi 1)(xi xi+1):::(xi xn)

Теперь решим общую задачу отыскания полинома Ln(x). Этот полином имеет следующий вид

n

P

Ln(x) = pi(x)yi (4)

i=0

он удовлетворяет предъявленным выше условиям: его степень не выше n и в узлах интерполяции он равен ф-и f. Подставляя в (4) значения полиномов pi(x) получим

		n	(x x0)(x x1):::(x xi 1)(x xi+1):::(x xn)
	Ln(x) =	iP
		=0yi (xi x0)(xi x1):::(xi xi 1)(xi xi+1):::(xi xn) (5)

Это и есть интерполяционная формула Лагранжа.

Полином Лагранжа является единственным полиномом, удовлетворяющим предъявленным выше требованиям.

18 Оценки погрешностей

18.1Оценка погрешности интерполяционной формулы Лагранжа

Оценим разность

Rn(x) = f(x) Ln(x)

Относительно ф-и f(x) будем дополнительно предполагать, что в области a 6 x 6 b, содержащей узлы интерполирования ф-я f(x) имеет все производные f0(x); f00(x); :::; f(n+1)(x)

Введем ф-ю

u(x) = f(x) Ln(x) k n+1(x) (1)

k+1(x) = (x x0)(x x1):::(x xn)

где k - постоянный коэффициент.

Ф-я u(x) имеет n + 1 корень в точках x0; x1; x2; :::; xn. Подберем коэффициент k так, чтобы u(x) имела n + 2 корень в любой, но фиксированной точке x отрезка [a; b], не совпадающей с узлами интерполирования.

Для этого достаточно положить

f(x) Ln(x) k n+1(x) = 0

n+1(x) 6= 0

k = f(x) Ln(x) (2)

n+1(x)

48

при этом ф-я u(x) имеет n + 2 корня на интервале [a; b] и обращается в 0 на концах каждого из отрезков [x0; x1]; [x1; x2]; [xi; x]; [x; xi+1]; [xn 1; xn]. Из теоремы Ролля следует, что u0(x) имеет n + 1 корней на [a; b]. Применив теорему Ролля к производной u0(x) получаем, что вторая производная имеет не менее n корней

на отрезке [a; b]. Повторяя эти рассуждения приходим к выводу, что производная u(n+1)(x) имеет на отрезке [a; b] хотя бы один корень. Обозначим его , т.е.

u(n+1)( ) = 0

Так как

L(nn+1)(x) = 0 и (nn+1+1)(x) = (n + 1)!

то из формулы (1) имеем

u(n+1)(x) = f(n+1)(x) k(n + 1)!

При x = получим

f(n+1)( ) k(n + 1)! = 0

следовательно

k =

f(n+1)( )

(3)

(n+1)!

сравнивая правые части формул (2) и (3) получим

f(

) Ln(

)

=

f(n+1)( )

x

x

n+1(

x

)

(n+1)!

то есть

(n+1)

f(

) Ln(

) =

f

( )

n+1(

) (4)

x

x

x

(n+1)!

Т.к. x было выбрано произвольно, то формулу (4) можно записать по-иному

				f	(n+1)
Rn(x) = f(x) Ln(x) =					( )	n+1(x) (5)
					(n+1)!
где зависит от x и лежит внутри отрезка [a; b]
Обозначая
M		= max	f		(n+1)(x)		j
	n+1	a6x6bj

получим, что

jRn(x)j = jf(x) Ln(x)j 6 (Mn+1)!n+1 j n+1(x)j (6)

18.2Оценка погрешностей интерполяционных формул Ньютона

Если узлы интерполирования x0; x1; :::; xn равноотстоящие и xi+1 xi = h i = 0; 1; :::; n 1, то полагаем, что q = x hx0 . На основании формулы (5) получим погрешность для первой интерполяционной формулы Ньютона

Rn(x) = hn+1 q(q 1):::(q n) f(n+1)( ) (1) (n+1)!

где некоторое промежуточное значение между узлами интерполирования x0; x1; :::; xn и рассматриваемое точкой x.

Аналогично, полагая в (5) q = x xn получим погрешность для второй формулы Ньютона

h

Rn(X) = hn+1 q(q+1):::(q+n) f(n+1)( ) (2) (n+1)!

где некоторое промежуточное значение между узлами интерполирования x0; x1; :::; xn и рассматриваемое точкой x.

Полагая, что n+1y почти постоянна для y = f(x), а величина h достаточно мала и учитывая, что

49

n+1y

f(n+1)(x) = lim hn+1

h!1

получим, что

f(n+1)(x) n+1y0 hn+1

Тогда погрешность первой интерполяционной формулы Ньютона

Rn(x)	q(q 1):::(q n)		n+1	y0
	(n+1)!
второй
Rn(x)	q(q+1):::(q+n)	n+1yn
	(n+1)!

50