5.3Треугольные матрицы

Квадратная матрица называется треугольной, если элементы стоящие выше (ниже) главной диагонали равны 0. Верхняя треугольная матрица имеет вид

01

t11	t12	t13	:::	t1n
B 0	t22	t23	:::	t2nC

BC

T =	B	0	0	t33	:::	t3n		C
		0	0	0	:::	t
	@	:::	:::	:::		:::		A
	B				...		nnC

где ti;j = 0 при i > j

Нижняя треугольная матрица имеет вид

01

t11	0	0	:::	0	C
Bt21	t22	0	:::	0

BC

T = t31	t32	t33	:::	0
B n1	n2	n3 ...		nnC
Bt:::	t:::	t:::	:::	t:::	C
@					A

где tij = 0 при i < j

5.4Абсолютная величина. Норма матрицы

Под абсолютной величиной (модулем матрицы) A = (aij) понимают матрицу jAj = (jaijj).

Под нормой матрицы A = (aij) понимают действительное число jjAjj, удовлетворяющее условиям:

1.jjAjj > 0. Причем jjAjj = 0 тогда и только тогда, когда A = 0

2.jj Ajj = j jjjAjj,где - некое число. т.е. jj Ajj = jjAjj

3.jjA + Bjj 6 jjAjj + jjBjj

4.jjABjj 6 jjAjjjjBjj

5.4.1Канонические нормы

Норму называют канонической, если дополнительно выполнены условия

1.Если A = (aij), то jjAjj > jaijj, причем для A = (a11) jjAjj = ja11j

2.Из неравенства jAj 6 jBj следует неравенство jjAjj 6 jjBjj.

Вдальнейшем потребуются три следующие нормы:

1.	jjAjjm = maxi		Pj jaijj - m-норма
2.	jjAjjl = maxPjaijj - l-норма
	j	i
	jjAjjk = r
3.		i;j jaijj2		- k-норма
		P

В частности для вектора

0 1

x1

Bx2C X = B C @::: A

xn

эти нормы имеют следующий вид

jjXjjm = maxjxij

i

	jjXjjl = Pi				jxnj
		jjk = r
jj				j ja1jj2
	X

P

17