§ 2.4. Работа силы. Мощность.

1. При перемещении тела под действием силы совершается работа A. Пусть под действием постоянной силы F тело прошло путь s в направлении линии действия силы, тогда работа силы по определению:

A= Fs (2.4.1)

Если перемещение и сила направлены под углом друг к другу (рис.13), то

A= Fs cos =F_ss (2.4.2)

F_s – проекция силы на направление перемещения, иногда ее называют движущей силой. Работа - скалярная величина: A>0 при условии 0   ; A<0 при /2   ; A = 0 при  =/2, т.е. сила, направленная перпендикулярно перемещению, работу не совершает. В СИ работа измеряется в джоулях (Дж): 1 Дж = 1Н^. 1с.

Если во время движения сила, а также угол  изменяются (сила переменная, траектория криволинейная), то поступают так. Разбивают путь на сумму столь малых (элементарных) участков ds, на каждом из которых сила и угол ее наклона еще не успели заметно измениться, вычисляют работу на таком элементарном участке: dA =F_sds, а затем суммируют все элементарные работы. Формула работы переменной силы при перемещении тела из точки с координатой s₁ в точку с координатой s₂::

(2.4.3)

Отметим, что сила и перемещение - векторы, и  = ds, так что в формуле (2.4.3) можно использовать скалярное произведение этих векторов: F_sds=. Напомним геометрический смысл определенного интеграла – это площадь, заштрихованная на рис. 14.

Работа при перемещении по траектории складывается из элементарных работ на элементарных участках траектории, каждому из которых соответствует определенное состояние тела. Любое изменение состояния называется процессом, и работа - характеристика процесса.

2. Мощность N – интенсивность совершения работы. Средняя мощность

<N>= (2.4.5)

Здесь A – работа, совершенная за время t. В СИ мощность измеряют в ваттах (Вт): 1Вт=1Дж/1с. На технических устройствах и агрегатах указывают их среднюю мощность, которая реализуется при их работе. Мгновенная мощность зависит от скорости движения и равна:

N= (2.4.6)

Из формулы (2.4.6) следует, что мгновенная мощность мотора автомобиля при разгоне растет даже при неизменной силе тяги мотора.

§ 2.4. Механическая энергия.

1. Энергия – важная характеристика состояния тела, и она широко используется не только в физике, но и во всех других областях жизни. Энергия – физическая величина, характеризующая способность тела совершать работу. Механика рассматривает два вида энергии – кинетическую и потенциальную. Их сумма образует полную механическую энергию тела. Энергия тела уменьшается, когда тело совершает работу против внешних сил, и увеличивается, когда внешние силы совершает работу над телом. Работа – это способ изменения энергии тела, передачи энергии от одного тела к другому. Энергия и работа имеют одинаковую единицу измерения. Мы отмечали, что работа сопровождается изменением состояния тела, она – характеристика процесса. Энергия определяется состоянием тела, ее называют функцией состояния. Это означает, что изменение энергии тела при переходе из одного состояния в другое не зависит от процесса. Оно равно разности энергий тела в конечном и начальном состояниях.

2. Пусть тело перемещается под действием силы. Элементарная работа dA =F_sds =F_sds. Применив второй закон Ньютона и определение тангенциального ускорения, получаем: Fs=ma_=mdυ/dt и далее: dA =. Этот результат свидетельствует о том, что работа превращается в приращение некоторой величины, соответствующей данному состоянию тела. Эту величину называют кинетической энергией тела - E_к:

E_к= (2.4.1)

Кинетическую энергию можно выразить через характеристику состояния тела – импульс p=mv:

(2.4.2)

Кинетическая энергия – энергия движения, она численно равна работе, которую может совершить тело до полной остановки. При перемещении тела из точки 1 в точку 2 работа внешней силы на этом пути A₁₂ равна изменению его кинетической энергии:

A₁₂= (2.4.3)

3. Существуют силы, работа которых не зависит от формы траектории, связывающей начальное и конечное положения тела. Такие силы называются консервативными или потенциальными. Поясним это рисунком 15. Тело переместилось из точки 1 в точку 2 по траектории 1а2, при этом сила совершила работу А_1а2,. При перемещении по траектории 1б2 работа равна А_1б2. По определению консервативной силы А_1а2= А_1б2. Работа силы по замкнутому пути A ( например, 1а2б1) равна нулю. Действительно, A = А_1а2+ А_2б1= А_1а2 - А_1б2 = 0. Заметим, что при измении направления движения на противоположное (см. рис. 13) угол межде векторами силы и перемещения из острого превращается в тупой, при этом их косинусы отличаются только знаком. Это означает, что если при движении в одном направлении работа силы положительная, то при движении в противоположном направлении она отрицательная. Отсюда же следует еще одно свойство консервативной силы – равенство нулю работы по любой замкнутой траектории.

1

Покажем, что из трех сил – тяжести, упругости и трения первые две консервативные.

Пусть на тело действует сила тяжести, и тело перемещается из точки 1 в точку 2 (рис.16). Вектор силы тяжести m и элементарное перемещение ds (для наглядности пренебрегли математической строгостью, нарисовав его) образуют угол . Вычислим работу силы тяжести, учитывая, что ds^.соs=- dy: . Полученный результат показывает, что работа силы тяжести выражается через характеристики состояния тела в начальном и в конечном

его положениях, задаваемых координатами y₁ и y₂, а также показывает, что работа силы тяжести на замкнутом пути равна нулю – сила тяжести консервативная.

Аналогичный результат дает сила упругости F = -кх: , что доказывает ее консервативный характер.

Сила трения неконсервативная. Действительно, при любом направлении движения эта сила направлена против движения, ее работа на любом элементарном перемещении отрицательна, следовательно, работа на замкнутом пути не равна нулю.

4. Работа консервативной силы равна уменьшению некоторой величины, являющейся функцией состояния тела и измеряющейся в СИ в джоулях. Эту функцию называют потенциальной энергией Е_п, разность ее значений в начальном -1 и в конечном – 2 положениях тела равна работе силы при перемещении тела по любой траектории, связывающей два его положения:

А₁₂=Е_л1 – Е_п2 (2.4.4)

Оказывается, что мы уже вывели формулы потенциальной энергии. Напомним, что потенциальная энергия – это энергия взаимодействия, зависящая от взаимного положения тел. Потенциальная энергия тела в поле силы тяжести земли зависит от его высоты h над горизонтальным уровнем, принятым за нулевой, и выражается формулой:

E_п =mgh (2.4.5)

Для упругой деформации за нулевой уровень потенциальной энергии естественно принять недеформированное состояние, тогда формула потенциальной энергии упруго деформированного тела имеет вид:

Е_п= (2.4.6)

5. Полная механическая энергия тела Е (иногда ее называют механической энергией) состоит из кинетической и потенциальной энергий:

Е = Е_к + Е_п (2.4.7)