§ 5.2. Основное уравнение кинетической теории газа

1. Атомы и молекулы вещества на небольших по сравнению с их размерами расстояниях притягиваются друг к другу, причем, силы притяжения быстро уменьшаются при увеличении расстояния. В газах его частицы большую часть времени находятся так далеко друг от друга, что силы притяжения не в состоянии противодействовать разбрасывающему их тепловому движению. При сближении частиц на расстояния, соответствующие столкновению, силы притяжения частиц сменяются силами отталкивания, и частицы вновь разлетаются. Можно считать, что между столкновениями частицы движутся свободно, при этом время свободного движения значительно превосходит время столкновений, и газ вследствие теплового движения всегда полностью занимает предоставленный ему объем. Отсюда модель идеального газа:

• собственный объем молекул мал по сравнению с объемом газа (т.е.с объемом сосуда):

• потенциальная энергия взаимодействия молекул пренебрежимо мала по сравнению с кинетической энергией хаотического движения, так что можно считать, что между двумя последовательными столкновениями частицы движутся свободно, т.е. равномерно и прямолинейно;

• вследствие хаотичности любые направления движения частиц равновероятны, т.е. в любом направлении в любой момент времени движется примерно одинаковое число частиц;

• соударения молекул друг с другом и со стенками сосуда упругие.

2. При столкновении со стенкой сосуда молекула сообщает ей импульс. Напомним, что переданный в единицу времени импульс равен силе, действующей на стенку, а сила, направленная перпендикулярно к поверхности, и отнесенная к единице площади поверхности, равна давлению: . Для простоты рассмотрим сосуд прямоугольной формы объемом V=Sl, где S – площадь боковой стенки, перпендикулярной оси х, l - длина ребра вдоль оси х (см. рис. 20). Одна из молекул (ее масса m₀) летит вдоль оси х со скоростью υ из точки 1, в точке 2 упруго сталкивается со стенкой, сообщает ей импульс 2m₀υ и отскакивает без потери скорости к противоположной стенке. Ударившись в точке 1, молекула опять движется в точку 2 и, спустя время опять сообщит стенке такой же импульс. За единицу времени этот процесс произойдет 1/ раз, так что удары одной молекулы о стенку сосуда создадут силу m₀υ ²/l.

Учитывая, что в сосуде N молекул, и их направления движения равновероятны, без потери общности рассуждений можем предположить, что вдоль оси х движется 1/3 всех молекул, и их общая сила давления на стенку равна . Давление , где - концентрация молекул, т.е. их число в единице объема. Учтем, что скорости движения молекул различны, и вклад каждой молекулы в давление пропорционален квадрату ее скорости, тогда

(5.2.1)

Здесь < υ ²> - среднее значение квадрата скорости, оно равно сумме квадратов скоростей всех молекул, деленной на их число. Эта величина также называется квадратом средней квадратичной скорости: . Формула (5.2.1) выражает уравнение молекулярно-кинетической теории давления газа. Она показывает, что давление газа – статистический параметр, и равно среднему импульсу, переданному единице площади стенки сосуда в единицу времени при столкновении с ней молекул вследствие их теплового движения. Заметим, что газ, находящийся в состоянии термодинамического равновесия, такое давление будет оказывать на все стенки сосуда любой формы.

3. В рассмотренной модели идеального газа молекулы считаются материальными точками. Кинетическая энергия теплового движения у разных молекул разная вследствие различия скоростей хаотического движения. Усредним ее по всем молекулам. и назовем средней кинетической энергией поступательного хаотического движения молекул <E_пост>. Она выражается формулой:

<E_пост>= (5.2.2)

Основное уравнение кинетической теории газа можно записать еще и так:

(5.2.3)

Уравнение (5.2.3) констатирует, что давление идеального газа зависит от концентрации молекул и их средней энергии поступательного движения. Формулы основного уравнения кинетической теории (5.2.1) и (5.2.3) связывают между собой величины, усредненные по всем молекулам: p, n, <E_пост>. Эти величины характеризуют не отдельную молекулу, а всю рассматриваемую термодинамическую систему – газ и являются характеристиками (параметрами) состояния газа. Таким образом, основное уравнение кинетической теории идеального газа является уравнением состояния идеального газа.