9.3. Вихревой характер магнитного поля.

1. Математически поле векторов характеризует поток через поверхность и циркуляция вектора по контуру. Электростатическое поле создается неподвижными электрическими зарядами и является потенциальным. Математически это выражается формулами (7.3.1) и (7.4.9). Первая из них – теорема Гаусса - констатирует, что положительные заряды служат «истоками» силовых линий, отрицательные – их «стоками», так что поток через замкнутую поверхность определяют заряды, находящиеся внутри нее. Вторая формула констатирует, что циркуляция вектора напряженности электростатического поля по контуру равна нулю, так как кулоновские силы консервативные, и их работа на замкнутом пути равна нулю.

Магнитный поток имеет смысл, аналогичный потоку вектора напряженности электростатического поля. Графически он изображается силовыми линиями, пересекающими поверхность, и пропорционален (при определенных условиях изображения равен) их числу. Магнитный поток обозначают Ф, в СИ измеряют в веберах (Вб): 1Вб=1Тл^.1м². По определению магнитный поток через поверхность

(9.3.1)

Силовые линии магнитного поля всегда замкнуты. Это значит, что поток вектора магнитной индукции через любую замкнутую поверхность равен нулю:

(9.3.2)

Рассмотрим циркуляцию вектора магнитной индукции на примере поля прямолинейного тока (рис. 50). Проводник с током перпендикулярен плоскости рисунка, он изображен маленьким кружком с крестиком в центре, показывающем направление тока. На рис 50-а) контур совпадает с силовой линией – окружностью радиуса r (штриховая линия). Векторы перемещения и магнитной индукции сонаправлены, так что B_l=B= и . Деформируем контур так, что он по-прежнему охватывает проводник с током, но не совпадает с силовой линией (рис.50-б). При перемещении по контуру на dl радиус r силовой линии поворачивается на малый центральный угол d, так что dlcos=rd, соответственно, B_ldl=Вdlcos=Brd=₀Id /(2). При обходе по замкнутому контуру этот центральный угол равен 2, так что полученный нами ранее результат сохранится. Самостоятельно рассмотрите контур, который не охватывает проводник с током. Нарисуйте его и убедитесь, что при обходе такого контура суммарное изменение центрального угла равно нулю: поворот r вокруг проводника по часовой стрелке на некоторый угол при движении по одной половине контура сменяется на поворот на точно такой же угол против часовой стрелки при движении по другой половине контура. Если поле создают несколько проводников с током, то, согласно принципу суперпозиции, , и циркуляция по контуру определяется алгебраической суммой токов, охватываемых контуром. Эта формула называется теоремой о циркуляции вектора магнитной индукции¹:

(9.3.3)

Полученный вывод справедлив для замкнутого контура произвольной формы.

Свойства магнитного поля отличаются от свойств электростатического поля, что математически выражается формулами (9.3.2) и (9.3.3). Магнитное поле называется вихревым: в природе нет «источников» и «стоков» магнитного поля, подобных зарядам, создающим электростатическое поле. Постоянные магниты имеют северный и южный полюса, которые невозможно отделить друг от друга. Разделив постоянный магнит на две части, опять получим оба полюса у каждой части.

2. Применим формулу (9.3.3) для расчета поля соленоида. Соленоид представляет собой цилиндрическую проволочную катушку, состоящую из одинаковых круговых витков, последовательно соединенных друг с другом. Их центры лежат на одной прямой – оси соленоида, перпендикулярной плоскости витков. Теоретически соленоид – бесконечно длинная катушка. Нарисуйте ее часть, вспомните, какой вид имеет поле кругового тока (рис. 47), и, пользуясь принципом суперпозиции, убедитесь, что вектор магнитного поля соленоида в любой точке параллелен его оси, так как витки симметрично расположены относительно этой точки. В качестве замкнутого контура рассмотрите прямоугольник, две стороны которого параллельны, а две другие перпендикулярны оси соленоида. Тогда B_l=0 на сторонах, перпендикулярных оси (там =90⁰). Пусть дальняя от оси соленоида параллельная ей сторона контура находится бесконечно далеко от соленоида, где магнитная индукция равна нулю. Ближняя к оси сторона прямоугольника находится внутри соленоида, вдоль нее B_l=В, так что , где l – длина параллельной оси стороны контура. Суммарный ток, охватываемый контуром, течет по виткам, нанизанным на эту сторону контура. Их число равно N, так что I=NI. Если ближняя к оси соленоида сторона контура находится снаружи соленоида, то контур не охватывает токи, и I=0. В результате получаем, что магнитное поле существует только внутри соленоида и равно:

(9.3.4)

Здесь n=N/l – число витков на единицу длины соленоида. Соленоид – источник однородного магнитного поля, полностью заключенного внутри его объема. Разумеется, на практике не бывает бесконечно длинных соленоидов. Ток, текущий по реальному соленоиду, создает магнитное поле как внутри, так и снаружи его. Формула (8.3.3) тем точнее оценивает магнитную индукцию в центральной части реального соленоида, чем меньше отношение диаметра витка к длине соленоида¹.

3. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (бублика). Для тороида, радиус которого значительно превосходит радиус витка, магнитное поле практически сосредоточено внутри его объема. Заметим, что силовые линии имеют вид концентрических окружностей постоянной густоты, центры которых совпадают с центром тороида. Направление вектора магнитной индукции в разных сечениях тороида различно, а величина его везде одинакова и соответствует формуле (9.3.3). Говорить об однородности поля в пределах всего объема тороида можно только условно, имея в виду одинаковую величину векторов магнитной индукции. Разумеется, что поле реального тороида из-за наличия составляющей тока вдоль оси несколько отличается от рассмотренного нами теоретически.