3.3 Главные оси инерции

Момент инерции твердого тела произвольной формы и распределения масс зависит от ориентации оси вращения. Допустим, что ось проходит через центр масс тела (центр инерции). Найдем такую ориентацию оси, для которой момент инерции максимален. Далее, как доказывается в теоретической механике, существует также ось перпендикулярная найденной, и проходящая через центр масс, для которой момент импульса твердого тела будет минимален. Для третьей оси, ортоганальной к первым двум, момент импульса в общем случае имеет величину промежуточную между максимальным и минимальным значениями. Введенные таким образом оси вращения называются главными осями инерции. Моменты инерции относительно этих осей не обязательно отличаются друг от друга по величине. Действительно, если однородное по плотности твердое тело обладает той или иной симметрией, то некоторые главные моменты инерции могут равняться друг другу. Так, например, однородный по плотности шар имеет три равных момента инерции относительно главных осей, каждый из которых равен: , где M, R - масса и радиус шара.

Однородный куб с массой М и длиной ребра имеет также три равных момента инерции относительно главных осей инерции . Главные оси инерции перпендикулярны граням куба и проходят через центр куба..

Тонкий однородный по плотности диск имеет максимальный по величине момент инерции относительно оси, проходящей через центр диска перпендикулярно его плоскости, а также два других главных момента инерции равных друг другу.

Приведем также пример тела, когда все три момента инерции относительно главных осей инерции различны - однородный по плотности параллелепипед с отличающимися по длине ребрами.

3.4 Момент силы. Момент импульса

Моментом силы относительно точки О называется вектор равный:

,

где – радиус-вектор, проведенный из точки О в точку приложения внешней силы ; – векторное произведение и .

Направление момента силы связано с направлением и правилом правого винта.

Величина момента силы определяется выражением:

,

где  – угол между направлениями векторов и .

Размерность момента силы Нм = кг*м²/с².

Момент силы относительно оси.

Рассмотрим теперь тело, закрепленное в двух неподвижных точках О и О₁ так, что тело может вращаться только вокруг оси, проходящей через эти точки (рис.15).

Рис.15

Пусть ось вращения совпадает с осью Z системы отсчета. Допустим, что момент силы направлен произвольным образом по отношению к оси вращения. Тогда вектор можно разложить на составляющие M_x, M_y, M_z, каждая из которых будет стремиться повернуть тело соответственно вокруг осей x, y, z. Составляющие момента M_x и M_y будут компенсироваться моментами сил реакции, возникающих в точках закрепления оси вращения. Поэтому вращение будет происходить только под действием составляющей M_z.

Составляющая вектора момента силы , направленная вдоль оси вращения, называется моментом силы относительно этой оси.

Строго говоря, момент силы относительно оси является скалярной величиной, так как является проекцией вектора момента силы на направление оси вращения. Однако, часто бывает удобно рассматривать его, как вектор, который направлен по оси вращения и может иметь только два направления, соответствующих вращению по или против часовой стрелки. Если момент силы вызывает вращение тела по часовой стрелке, то он считается положительным, если против – то отрицательным.

Величина момента силы относительно оси вращения равна

,

где – плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до прямой, вдоль которой действует сила).

Определим теперь момент импульса твердого тела относительно оси вращения. Для этого рассмотрим твердое тело, вращающееся вокруг фиксированной в пространстве оси вращения. Разобьем тело на малые элементы и пронумеруем их от i до N. Масса некоторого элемента с номером i будет m_i. Каждый элемент тела двигается по окружности радиуса r_i и его скорость равна r_i, где  – угловая скорость вращения. Величина импульса этого малого элемента равна произведению (где т_i, - масса элемента тела, v_i = r_i - скорость элемента тела). Момент импульса этого малого элемента равен произведению импульса на его плечо. Плечом импульса малого элемента является радиус окружности, по которой он движется, т.е. r_i. Поэтому момент импульса малого элемента твердого тела будет: .

Суммируя моменты импульсов всех элементов тела, получим момент импульса твердого тела относительно фиксированной в пространстве оси вращения:

.

Постоянную величину  можно вынести за знак суммы, тогда:

.

Сумма, стоящая в последнем выражении , является моментом инерции твердого тела относительно фиксированной в пространстве оси вращения, поэтому:

.

И окончательно, учитывая векторный характер угловой скорости и момента импульса, имеем:

.

Из последнего выражения ясно, что момент импульса твердого тела относительно фиксированной в пространстве оси вращения это векторная величина, модуль которой измеряется произведением момента инерции твердого тела относительно оси вращения на величину угловой скорости вращения. Направление момента импульса твердого тела относительно фиксированной в пространстве оси вращения совпадает с направлением угловой скорости