6.3. Скорость, ускорение и энергия при гармонических колебаниях

При гармонических колебаниях смещение колеблющейся точки от положения равновесия имеет вид (см.формулу 31):

где А – амплитуда колебаний.

Скорость колеблющейся точки

Так как материальная точка, совершая колебания, обладает скоростью, то в каждый момент времени она обладает и кинетической энергией:

Ускорение материальной точки в каждый момент времени равно:

Потенциальная энергия измеряется работой внешних сил, которая совершена для того, чтобы вызвать определенное смещение x, и равна

Полная энергия будет равна сумме потенциальной и кинетической энергий:

Необходимо обратить внимание на то, что полная энергия колебания пропорциональна квадрату амплитуды.

6.4. Сложение колебаний одинакового направления и равных частот

Прежде всего, рассмотрим геометрический способ представления колебаний с помощью вектора амплитуды.

Из точки О под углом  отложим вектор, численно равный амплитуде колебания. Будем вращать этот вектор с угловой скоростью  против часовой стрелки. В некоторый момент t угол станет равным (t + ), а проекция вектора А на ось x (рис.21)

x = Аcos(t + ). (33)

Следовательно, проекция вектора амплитуды на ось x является геометрическим аналогом гармонических колебаний, которые описываются уравнением (33).

Рис.21

Часто приходится иметь дело с таким движением, при котором тело участвует одновременно в двух или нескольких колебательных движениях, частоты которых одинаковы.

Допустим, что имеется два колебания одинакового направления и одинаковой частоты, происходящих с некоторой начальной разностью фаз и имеющих разные амплитуды. Графики векторов амплитуды этих колебаний представлены на рис.22 (для момента времени t = 0)

Результирующий вектор будет иметь постоянную величину и, очевидно, будет вращаться с той же угловой скоростью. Таким образом, результирующее движение будет гармоническим колебанием с частотой , амплитудой А и начальной фазой .

Амплитуду А и начальную фазу  можно найти из чертежа рис.22:

Рис.22

;

Графический метод сложения колебаний одного направления и одинаковых частот удобен для решения практических задач и часто используется особенно в электротехнике.