Контрольные вопросы и задачи

1. Что происходит с амплитудой колебаний, если частота внешней силы приближается к частоте собственных колебаний системы?

X

t, с

Рис27

2. Чему равняется амплитуда колебаний, период колебаний и частота колебаний, график которых изображен на рис.27? Масштаб оси ординат – метры.

3. Точка совершает колебательное движение по двум взаимно-перпендикулярным направлениям в соответствии с уравнениями и . Какую форму имеет траектория движущейся точки?

4. Материальная точка совершает колебания вдоль оси х в соответствии с соотношением (м). Какова скорость движения точки в момент времени t = 0?

5. Как изменится период колебаний груза, подвешенного на пружине, если жесткость пружины уменьшится в 16 раз?

6. Как изменится период колебаний пружинного маятника при увеличении массы груза в 4 раза?

7. Начальная фаза колебаний точки равна . Период колебаний Т = 0,06 с. Определить ближайшие моменты времени, в которые скорость и ускорение в два раза меньше их амплитудных значений.

8. Определить амплитуду колебания, возникающего при сложении двух одинаково направленных гармонических колебаний одинаковых частот, с разностью фаз 60⁰ и амплитудами, равными 2 см и 4 см.

9. Тело массой m = 2 кг совершает колебания по закону (х₀ = 2 см; ω = 2 рад/с). Определить силу, действующую на тело, и его максимальную кинетическую энергию.

7. Элементы гидростатики и гидродинамики

Свойства реальных жидкостей исключительно сложны. Действительно, достаточно напомнить, что жидкость как физический объект не имеет собственной внешней формы, а принимает форму того сосуда, в котором она размещается. Если к этому добавить, что отдельные части жидкости могут одновременно испытывать разные движения, между которыми действуют силы трения, то становится понятным, насколько сложно изучать жидкости во всех проявлениях их свойств.

Однако большой класс жидкостей обладает малой вязкостью и неизменной плотностью, поэтому для приближенного описания свойств таких жидкостей вводится понятие идеальной жидкости. Идеальная жидкость – это модель жидкости, в которой полностью отсутствует вязкость (внутреннее трение), а сама жидкость несжимаема.

Примером жидкостей со сравнительно малой вязкостью является вода, эфир и ряд других. Свойства этих жидкостей весьма близки к свойствам идеальной жидкости.

Если в жидкости отсутствуют движения, то ее вязкость вовсе не проявляется, и в этом случае для любой неподвижной жидкости, как с малой, так и с большой вязкостью выполняются некоторые общие соотношения. Среди этих соотношений важнейшими являются закон Паскаля, соотношение для гидростатического давления и закон Архимеда. Отметим также, что раздел механики жидкостей, рассматривающий свойства неподвижных жидкостей, называется гидростатикой, а раздел, рассматривающий свойства движущихся жидкостей, – гидродинамикой.

7.1. Основные законы и соотношения гидростатики

Закон Паскаля. Неподвижная жидкость или газ передают внешнее давление по всему объему жидкости и по всем направлениям одинаково.

Обратим внимание на то, что в законе идет речь только о неподвижной жидкости и о внешнем давлении, которое действует на жидкость или газ. Кроме внешнего давления в жидкости или газе могут наблюдаться и давления, вызванные другими причинами, например, силой тяжести самой жидкости, которая действует на некоторой глубине в неподвижной жидкости, а также силы, связанные с проявлением движения слоев жидкости, и рядом других причин.

На использовании закона Паскаля основано действие гидравлического пресса. Простейший гидравлический пресс состоит из двух сообщающихся сосудов, в каждом из которых имеется поршень (рис.28). Пространство под поршнями заполнено жидкостью. Площади поршней и различны, .

Рис.28

Если на поршень площади действовать силой , то в жидкости создастся давление .

Такое же давление согласно закону Паскаля будет действовать во всем объеме жидкости, в том числе и на поршень площадью . Тогда сила, действующая на поршень площадью ,

.

Откуда ясно, что сила , действующая на поршень , может во много раз превосходить силу, приложенную к поршню , если отношение достаточно велико.

Гидростатическое давление. Если неподвижная жидкость находится в поле сил тяжести, то на дно сосуда действует давление

,

где – плотность жидкости; – ускорение свободного падения; – высота столба жидкости в сосуде. Это давление называется гидростатическим. Давление на стенки сосуда определяется аналогичной формулой, но высота столба жидкости в этом случае отсчитывается от уровня стенки до поверхности жидкости. Заметим, что давление определяется только соответствующими высотами и совершенно не зависит от формы сосуда.

Закон Архимеда. На тело, погруженное в жидкость или газ, действует выталкивающая сила, равная весу вытесненной жидкости или газа. Закон выполняется в том случае, если в жидкости или газе отсутствуют движения, т.е. для гидростатических условий.

Рис.29

Покажем, что закон Архимеда является проявлением гидростатического давления, действующего в жидкости, в которой отсутствуют внутренние движения и сама жидкость находится в поле тяготения Земли. Для этого рассмотрим параллелепипед, погруженный в жидкость, (рис.29). Силы, действующие на боковые грани параллелепипеда, взаимно уравновешиваются. Сила, действующая на верхнюю грань, определяется величиной гидростатического давления на соответствующей этой грани глубине . Величина силы

, (35),

где ; – плотность жидкости; – величина площади верхней грани параллелепипеда. Подставляя выражение для давления в формулу (35), получим

.

Сила, действующая на нижнюю грань, определяется величиной гидростатического давления на соответствующей этой грани глубине . Величина этой силы больше, чем сила, действующая на верхнюю грань,

.

Выталкивающая сила Архимеда определяется разностью сил, действующих на нижнюю и верхнюю грани параллелепипеда:

,

где – объем вытесненной параллелепипедом жидкости. Следовательно, сила Архимеда

.

Необходимо обратить внимание на то, что сила Архимеда определяется весом вытесненной жидкости, а не силой тяжести вытесненной жидкости. Поэтому, если сосуд с жидкостью, в которую погружено тело, движется с ускорением в гравитационном поле Земли, то меняется вес вытесненной жидкости и как следствие меняется величина силы Архимеда. Если жидкость, в которую погружено тело, находится в состоянии невесомости, то сила Архимеда равна нулю.