- •1. Кинематика
- •1.1. Основные понятия кинематики
- •1.2. Понятия скорости и ускорения
- •1.3. Ускорение при криволинейном движении – тангенциальное и нормальное ускорения
- •1.4. Кинематика вращательного движения
- •Контрольные вопросы и задачи
- •2. Динамика поступательного движения
- •2.1. Законы Ньютона
- •2.2. Понятие импульса силы и импульса тела
- •2.3 Работа, мощность, коэффициент полезного действия
- •Полная работа на всем пути равна
- •2.4 Силы консервативные и неконсервативные. Потенциальное поле сил
- •2.5 Энергия. Потенциальная и кинетическая энергии
- •2.6 Связь между потенциальной энергией и силой
- •2.7 Сила трения
- •2.8 Центр масс твердого тела
- •Контрольные вопросы и задачи
- •3. Динамика вращательного движения
- •3.1. Кинетическая энергия вращающегося тела. Момент инерции твердого тела
- •3.2. Моменты инерции тел простой геометрической формы
- •3.3 Главные оси инерции
- •3.4 Момент силы. Момент импульса
- •3.5. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела
- •3.6. Условия равновесия твердых тел
- •3.7. Работа внешних сил при вращении твердого тела
- •3.8. Неинерциальные системы отсчета
- •Контрольные вопросы и задачи
- •4. Законы сохранения
- •4.1. Закон сохранения энергии
- •1. Закон сохранения энергии в механике.
- •4.2. Закон сохранения импульса
- •4.3. Закон сохранения момента импульса
- •2.3 Движение тела переменной массы. Реактивное движение
- •Контрольные вопросы и задачи
- •5. Всемирное тяготение
- •5.1. Законы Кеплера
- •5.2. Закон всемирного тяготения
- •5.3. Сила тяжести и вес тела. Невесомость
- •5.4. Космические скорости
- •Контрольные вопросы и задачи
- •6. Колебательное движение
- •6.1. Гармонические колебания
- •6.2. Физический и математический маятники
- •6.3. Скорость, ускорение и энергия при гармонических колебаниях
- •6.4. Сложение колебаний одинакового направления и равных частот
- •6.5. Биения
- •6.6. Сложение взаимно-перпендикулярных колебаний. Фигуры Лиссажу
- •6.7. Затухающие колебания
- •6.8. Вынужденные колебания. Резонанс
- •Контрольные вопросы и задачи
- •7. Элементы гидростатики и гидродинамики
- •7.1. Основные законы и соотношения гидростатики
- •7.2. Основные законы гидродинамики идеальной жидкости
- •Теорема о неразрывности струи.
- •Уравнение Бернулли.
- •Измерение давления в текущей жидкости.
- •Контрольные вопросы и задачи
- •8. Основы теории относительности
- •8.1. Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея
- •8.2. Принцип относительности Эйнштейна. Преобразования Лоренца
- •8.3 Кинематика теории относительности (следствия из преобразований Лоренца)
- •8.4. Динамика теории относительности
- •Основное уравнение динамики теории относительности.
- •Контрольные вопросы и задачи
- •9. Справочные таблицы Некоторые физические постоянные
- •Множители, приставки для образования десятичных, кратных единиц
- •Некоторые астрономические величины
- •Содержание
- •1. Кинематика
- •1.1. Основные понятия кинематики
3.6. Условия равновесия твердых тел
Движение твердого тела определяется двумя уравнениями:
, (22)
где – внешние силы; – моменты этих сил, - ускорение центра масс тела, - угловое ускорение. Тело может оставаться в состоянии покоя в том случае, если нет причин, приводящих к возникновению поступательного движения или вращения. В соответствии с (22) для этого необходимо и достаточно, чтобы были выполнены два условия:
1. Сумма всех внешних сил, приложенных к телу, должна быть равна нулю:
.
2. Результирующий момент всех внешних сил относительно любой неподвижной оси должен быть равен нулю:
.
3.7. Работа внешних сил при вращении твердого тела
Рассмотрим твердое тело, которое может вращаться вокруг неподвижной в пространстве оси вращения.
Допустим, что Fi – составляющая внешней силы вызывающая вращение и приложенная к некоторой элементарной массе ∆mi твердого тела. За малый промежуток времени элементарная масса переместится на и следовательно силой будет совершена работа
,
где – сила касательная к траектории движения массы (именно эта сила вызывает вращение тела), величина перемещения , где - элементарный угол поворота твердого тела.
Следовательно
Легко заметить, что произведение является моментом силы относительно заданной оси вращения z и действующим на элемент тела Dmi. Следовательно, работа силы будет равна
.
Суммируя работу моментов сил, приложенных ко всем элементам тела, получим для элементарно малой энергии, затрачиваемой на элементарный поворот тела dj:
,
где – проекция на ось z результирующего момента сил, действующих на твердое тело, вращающееся вокруг заданной оси. Заметим, что (где - угловая скорость вращения тела).
И окончательно для работы за конечный промежуток времени t имеем:
.
И, наконец, отметим, что имеется формальная аналогия величин для поступательного и вращательного движений, представленная в таблице:
Поступательное движение |
Вращательное движение |
– сила т – масса – линейное ускорение – импульс тела – работа силы |
– момент силы – момент инерции – угловое ускорение – момент импульса – работа момента силы
|
3.8. Неинерциальные системы отсчета
Классические законы механики Ньютона справедливы только в инерциальных системах отсчета. Однако встречаются задачи, для которых движение тел задается в системах, жестко связанных с телами, на которые действуют силы, т.е. в неинерциальных системах отсчета. Рассмотрим вначале конкретный пример. Допустим автобус, подходя к остановке, тормозит. Пассажиры автобуса при этом увлекаются по направлению к кабине шофера, хотя их никто не толкает (нет внешней силы, действующей на пассажиров). Таким образом, для того чтобы правильно рассчитывать движение пассажиров по отношению к стенкам автобуса (неинерциальная система отсчета), необходимо во второй закон Ньютона ввести добавочное слагаемое, т.е. добавочную силу, которая будет учитывать ускоренное движение пассажиров по отношению к стенкам автобуса. Это слагаемое называют силой инерции:
,
где – сила инерции; – ускорение системы отсчета (автобуса).
Второй закон Ньютона в ускоренно движущейся системе отсчета тогда будет:
или в развернутом виде
,
где – сила, действующая на тело со стороны других тел; – ускорение тела в неинерциальной системе отсчета; – ускорение системы отсчета. Силу инерции необходимо учитывать, только в том случае, если расчеты производятся в системе отсчета движущейся ускоренно.
Рассмотрим теперь вращающуюся систему отсчета. Допустим, что некоторое тело в этой системе отсчета неподвижно, т.е. вращается вместе с системой отсчета, двигаясь по круговой траектории. Так как тело неподвижно в неинерциальной системе отсчета, то необходимо считать, что сумма всех сил, действующих на это тело в этой системе, равна нулю. Но это означает, что во вращающейся системе отсчета необходимо ввести силу, которая скомпенсирует центростремительную силу. Эту силу называют центробежной. Численно центробежная сила равна центростремительной и направлена в противоположную сторону. Формула для центробежной силы
,
где w – угловая скорость вращения системы отсчета; – радиус вектор, проведенный от оси вращения в точку расположения тела. Подчеркнем еще раз: центробежную силу необходимо учитывать, только в том случае, если расчеты производятся во вращающейся системе отсчета.
Допустим теперь, что тело движется во вращающейся системе отсчета с некоторой постоянной скоростью . Тогда, кроме центробежной силы, необходимо учитывать так называемую силу Кориолиса. Сила Кориолиса равна:
,
где – векторное произведение скорости тела во вращающейся системе координат и угловой скорости вращения этой системы.
Таким образом, в общем случае, когда система отсчета движется ускоренно и кроме этого вращается, а также изучаемое тело в этой системе движется со скоростью , уравнение движения необходимо записать в следующем виде:
или более подробно:
,
где – сила, действующая на изучаемое тело со стороны других тел; – ускорение системы отсчета; – угловая скорость вращения системы отсчета; – скорость тела в неинерциальной системе отсчета; – ускорение тела, измеренное в неинерциальной системе отсчета.