6.8. Вынужденные колебания. Резонанс

Вынужденными называются колебания, которые возникают в колебательной системе под действием внешней, периодически изменяющейся силы (эта сила называется вынуждающей силой).

Рассмотрим простейший случай, когда вынуждающая сила изменяется по гармоническому закону и отсутствуют силы трения:

.

Будем считать, что циклическая частота вынуждающей силы не равна частоте собственных колебаний системы. Поскольку в системе возникают колебания, то должна иметься еще упругая сила

.

В общем случае может присутствовать еще и сила трения, которая, как мы видели, приводит к затухающим колебаниям. Но для упрощения задачи предположим вначале, что сил трения нет. В конце покажем, к чему приводит учет сил трения.

Итак, на систему действуют две силы – вынуждающая и сила упругости.

По II закону Ньютона

Введем обозначения:

,

где – циклическая частота собственных колебаний системы (в отсутствии трения);

это неоднородное дифференциальное уравнение вынужденных колебаний. Его решение складывается из общего решения однородного уравнения и частного решения неоднородного. Решение однородного уравнения, как мы видели, представляет собой гармонические колебания. Они важны только в начальной стадии процесса, а затем устанавливаются вынужденные колебания, которые описываются частным решением неоднородного уравнения. Поэтому в дальнейшем мы будем рассматривать только это решение:

. (34)

Множитель перед гармонической функцией является амплитудой колебаний.

Из последней формулы видно, что амплитуда вынужденных колебаний зависит от соотношения циклической частоты вынуждающей силы  и частоты собственных ₀ колебаний системы.

Исследуем эту зависимость в частных случаях.

1. . В этом случае колебания не совершаются и смещение равно статической деформации под действием постоянной силы F₀:

_.

2. . Из формулы (34) видно, что в этом случае . Это связано с тем, что при большой частоте вынуждающей силы, эта сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

3. . При этом .

Следовательно, при приближении частоты вынуждающей силы к частоте собственных колебаний системы амплитуда вынужденных колебаний резко возрастает. Это явление называется резонансом, а частота называется резонансной частотой.

A

₁ = 0

₂

₃ > ₂

₀

0



Рис.26

Для упрощения решения мы пренебрегли силой трения. При учете сил трения амплитуда при резонансе уже не будет стремиться к бесконечности, а будет иметь конечное значение. При этом чем больше силы трения, т.е. чем больше коэффициент затухания , тем меньше амплитуда при резонансе, т.е. явление резонанса проявляется слабее (рис.26).

Кроме того, при учете сил трения формула для резонансной циклической частоты будет иметь следующий вид:

.

Отсюда видно, что с увеличением коэффициента затухания уменьшается, т.е. положение максимума при резонансе смещается в область меньших частот.

Явление резонанса широко используется в радиотехнике (настройка приемника), акустике. Ряд оптических явлений (например, аномальная дисперсия) связан с резонансом.

В различных сооружениях и машинах, подвергающихся периодически изменяющимся нагрузкам, резонанс весьма опасен. Он может вызвать их разрушение вследствие значительного возрастания амплитуды колебания. При проектировании машин и сооружений это следует учитывать.