4.3. Закон сохранения момента импульса

Если результирующий момент всех внешних сил, действующих на физическую систему равен нулю, то момент импульса этой системы остается постоянным. Это утверждение выражает закон сохранения момента импульса.

Закон сохранения момента импульса является следствием основного закона динамики вращательного движения. Покажем это.

Как известно, основной закон динамики вращательного движения твердого тела может быть записан в следующей форме (см. формулу (21)):

, (23)

где – момент внешних сил, действующих на твердое тело; – момент импульса этого тела.

Если физическая система состоит из N тел, то соотношение (23) можно записать для каждого тела системы. Проведя суммирование этих соотношений, получим:

,

т.е. результирующий момент сил, действующий на все тела системы, численно равен сумме производных по времени от моментов импульсов тел системы. Как известно сумма производных равна производной от суммы:

.

Если результирующий момент сил равен нулю, что будет в том случае, когда система изолирована (или квазиизолирована), то и производная по времени от суммы импульсов тел системы равна нулю, а это означает, что сумма моментов импульсов тел системы не изменяется во времени, т.е. остается постоянной, что и следовало доказать.

2.3 Движение тела переменной массы. Реактивное движение

Переменная масса тела возникает в том случае, когда некоторая часть массы тела отделяется с некоторой скоростью от самого тела (возможно также присоединение массы телом во время движения). Отделившаяся часть может быть представлена, например, массой реактивной струи ракетного двигателя. Рассмотрим вначале движение ракеты в космосе, когда кроме силы со стороны реактивной струи, других сил, действующих на ракету, нет. В этом случае газы реактивной струи и ракета являются замкнутой (изолированной) системой и для этой системы выполняется закон сохранения импульса, т.е. суммарный импульс не изменяется. Запишем закон сохранения импульса. Допустим, что в некоторый момент времени ракета массы m движется со скоростью (в инерциальной системе отсчета). За последующий элементарно малый промежуток времени ракетный двигатель выбросит массу газов реактивной струи со скоростью (в той же инерциальной системе). Скорость газов реактивной струи направлена против скорости ракеты. Масса ракеты уменьшится на величину

. (24)

Импульс реактивной струи изменяется только за счет массы газов, выброшенных двигателем - (. Импульс ракеты изменяется как за счет изменения ее массы так и за счет изменения ее скорости

На основании закона сохранения импульса суммарное изменение импульса равно нулю:

. (25)

В принятой инерциальной системе отсчета скорость газов реактивной струи определяется как скоростью движения ракеты , так и скоростью истечения газов реактивного двигателя относительно тела ракеты :

. (26)

Проектируя это векторное равенство на направление движения реактивной струи, имеем

.

Откуда ясно, что величина скорости реактивной струи (в инерциальной системе отсчета) меньше скорости истечения газов на величину скорости движения самой ракеты. Осуществив подстановку соотношений (24 и 26) в формулу (25), и проведя сокращения получим:

. (27)

Спроектируем последнее соотношение на направление движения ракеты:

или . (28)

Скорость истечения газов реактивной струи относительно ракеты величина постоянная, т.е. . Тогда, проводя интегрирование в формуле (28) по скорости ракеты от до и по массе от М₀ до М, получим формулу Циолковского (1903 г.):

,

где М₀ – начальная масса ракеты (включая ракетное топливо на борту); М – масса ракеты, когда ее скорость достигает величины ; и – скорость истечения реактивных газов относительно ракеты; – скорость ракеты до включения ракетного двигателя.

Из формулы Циолковского ясно, что, чем больше скорость истечения газов реактивной струи ракетного двигателя относительно ракеты и, тем большую скорость может приобрести ракета.

Поделим обе части соотношения (27) на , в результате чего получим

.

В правой части последнего выражения стоит произведение массы ракеты на ускорение, т.е. сила, действующая на ракету. В левой части выражения стоит сила, вызывающая ускорение ракеты. Силу, вызывающую ускорение ракеты, называют реактивной силой. Следовательно, реактивная сила

.

Если, кроме реактивной силы, на тело ракеты действует также некоторая внешняя сила (например, сила тяжести), то в уравнении движения ракеты она добавляется к силе, развиваемой ракетным двигателем:

.

Это уравнение было получено Мещерским (1897 г.) и носит его имя.