6. Колебательное движение

6.1. Гармонические колебания

Колебанием или колебательным движением называется движение, обладающее той или иной степенью повторяемости во времени.

По своей природе колебания весьма разнообразны. К ним относятся механические колебания, электромагнитные, электромеханические и др.

Колебания называются периодическими, если значения физических величин, изменяющихся в процессе колебаний, повторяются через равные промежутки времени. Одним из наиболее важных типов периодических колебаний являются гармонические колебания, возникающие под действием упругих сил.

Рассмотрим пример колебаний, возникающих при упругих деформациях для случая, когда отсутствуют силы трения.

Как известно, при упругих деформациях, удовлетворяющих закону Гука, возникает сила, направленная к положению равновесия и пропорциональная деформации,

F = –kx,

где k – коэффициент упругости (жесткости); x – смещение из положения равновесия (величина деформации).

Допустим, что силы трения пренебрежимо малы и тело массы двигается только под воздействием силы упругой деформации, тогда по II закону Ньютона:

. (30)

Введем обозначения:

или .

Тогда уравнение (30) можно записать в виде:

.

Это дифференциальное уравнение называется уравнением гармонических колебаний.

Общим решением уравнения являются гармонические функции (синус или косинус)

. (31)

Величина называется циклической частотой колебаний.

Так как циклическая частота колебаний соответствует числу колебаний за 2π секунд, то

,

где – частота колебаний, Гц.

Величина называется периодом колебаний (это время одного полного колебания).

Величина называется фазой колебания. Фаза колебания позволяет определять смещение колеблющейся точки из положения равновесия для любого момента времени.

При t = 0 x = Acosα.

Величина α называется начальной фазой. Начальная фаза определяет положение колеблющейся точки в начальный момент времени.

6.2. Физический и математический маятники

1. Физический маятник – абсолютно твердое тело (рис.20), совершающее колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, не проходящий через его центр инерции (тяжести).

Движение маятника можно рассматривать как вращательное движение тела вокруг заданной неподвижной оси. Легко заметить, что на маятник действует момент сил, стремящийся вернуть тело в положение равновесия. Величина этого момента сил (рис.20):

О''

О'



l

О

Рис.20

,

где l – расстояние от оси вращения до центра тяжести; – угол отклонения от положения равновесия.

На основании основного закона динамики вращательного движения имеем:

или ,

где I – момент инерции маятника относительно оси вращения.

Если амплитуда колебаний мала, то мал и угол отклонения от положения равновесия и, поэтому, синус можно заменить радианной мерой угла, т.е. . Поэтому

.

Последнее уравнение приводится к следующему виду:

.

Сравнивая последнее уравнение с выражением (31) получим выражение для циклической частоты колебаний физического маятника:

.

Для периода малых по амплитуде колебаний физического маятника имеем:

. (32)

Величину называют приведенной длиной физического маятника. Поэтому период малых по амплитуде колебаний можно представить и следующим выражением:

.

2. Малое по размерам тело массы m, укрепленное на невесомом подвесе длины l, называется математическим маятником.

Математический маятник можно рассматривать как частный случай физического маятника. Момент инерции для математического маятника

.

Поэтому в соответствии с формулой (32) для периода колебаний математического маятника получим:

.

Как можно заметить из последней формулы, период колебаний математического маятника зависит от длины маятника и от ускорения силы тяжести в данном месте земного шара. Однако период Т не зависит ни от массы, ни от амплитуды колебания (но только в том случае, если амплитуда мала). Поэтому измерения периода малых колебаний маятника могут быть использованы для определения ускорения свободного падения g. Эти измерения исключительно точны, поэтому самые незначительные колебания величины g могут быть обнаружены. На этом основаны методы определения формы Земли и гравиметрическая разведка полезных ископаемых.