5.2. Закон всемирного тяготения
Получим закон всемирного тяготения теоретически, исходя из законов Кеплера и законов динамики Ньютона. Заметим, прежде всего, что окружность является частным случаем эллипса, причем радиус окружности равен соответствующей полуоси эллипса. Ввиду этого и для упрощения задачи, рассмотрим гипотетическую планетарную систему, т.е. систему, где все планеты движутся по круговым орбитам, в центре которых находится Солнце (тем самым будет использован первый закон Кеплера).
Согласно второму закону Кеплера, радиус-вектор конкретной планеты, отсекает, за равные промежутки времени, равные площади, что выполняется, если величина скорости движения конкретной планеты по круговой орбите есть величина постоянная (тем самым использован второй закон Кеплера).
Если планета движется по круговой орбите с постоянной скоростью, то на нее должна действовать центростремительная сила со стороны Солнца. Рассмотрим две планеты, движущиеся по круговым орбитам с радиусами R1 и R2. Центростремительные силы, действующие на них, будут равны:
;
,
где т1;
т2;
;
– массы и скорости соответственно
первой о второй планет.
Написанные соотношения для центростремительных сил выражают II закон Ньютона.
Определим теперь отношение сил:
.
(29)
Заметим далее, что скорости планет определяются их периодами обращения вокруг Солнца и радиусами орбит:
;
.
Подставив последние выражения в соотношение (29) после сокращений получим
.
По
третьему закону Кеплера:
.
Откуда после подстановки и сокращений
имеем:
.
Собирая все величины, касающиеся первой планеты в левой части равенства, а второй в правой, получим:
.
Или
для любой планеты
.
Полагая, что const пропорциональна массе Солнца, получим для силы притяжения между планетой и Солнцем:
,
где М – масса Солнца.
Откуда следует, что между любыми двумя телами, обладающими массами, должна действовать сила взаимного притяжения.
Закон всемирного тяготения: между любыми двумя материальными телами (материальными точками) действует сила взаимного притяжения, прямо пропорциональная произведению масс этих тел (М1 и М2 ) и обратно пропорциональная квадрату расстояния между ними (r2):
,
где G–гравитационная постоянная, G = 6,6720 × 10–11 H×м2/кг2.
5.3. Сила тяжести и вес тела. Невесомость
На всякое тело массы m, вблизи поверхности Земли, действует сила
,
называемая силой тяжести (g – ускорение свободного падения).
В данном месте Земли ускорение свободного падения одинаково для всех тел. Ускорение свободного падения изменяется вблизи поверхности Земли с широтой в пределах от 9,780 м/с2 на экваторе до 9,832 м/с2 на полюсах, что обусловлено формой Земли и ее вращением (экваториальный и полярный радиусы равны соответственно 6378 и 6357 км).
Сила тяжести вызывается силой гравитационного притяжения тела Землей и, поэтому (если не учитывать вращение Земли), они равны между собой, т.е.:
,
где M – масса Земли; RЗ – радиус Земли.
Откуда ясно, что ускорение свободного падения на поверхности Земли будет:
.
Если тело находится на высоте h от поверхности Земли, то:
,
т.е. ускорение свободного падения с удалением от поверхности Земли уменьшается.
Весом тела называют силу, с которой тело вследствие тяготения к Земле действует на опору (или подвес), удерживающую тело от свободного падения.
Состояние тела, при котором оно движется только под действием силы тяжести, называется состоянием невесомости.
Рассмотрим, в качестве примера, движение тела в поле тяготения Земли с ускорением, отличающимся от ускорения
свободного
падения
.
Допустим, что тело массы m,
находится в лифте, который движется
вверх с ускорением а, (рис.18).
y
Рис.18
Рис.19
.
Проектируя на ось y, получим:
.
Согласно III закону Ньютона реакция опоры N численно равна силе давления тела на опору, т.е. весу тела Р. Следовательно
.
Если тело движется с ускорением а, направленным вниз, то вес тела будет равен (рис.19):
.
Если лифт свободно падает, т.е. его
ускорение, направленное вниз, равно
ускорению свободного падения
,
и тело, расположенное в лифте, будет
находиться в состоянии невесомости:
