2.6 Связь между потенциальной энергией и силой
Определим теперь функциональную связь
между потенциальной энергией и силой.
Для этого рассмотрим элементарно малое
конкретное перемещение, в поле
консервативных (потенциальных) сил.
Работа перемещения совершается за счет
уменьшения запаса потенциальной энергии
тела, и поэтому элементарно малая работа
перемещения
,
как это определено формулой (10) и
элементарно малое изменение потенциальной
энергии
противоположны по знаку:
= –
.
В последнем соотношении использованы частные дифференциалы, так как рассматривается конкретное (частное) перемещение по определенному направлению.
С другой стороны, работа перемещения равна:
.
(величина
является проекцией силы на направление
перемещения
).
Проведя сравнение последних выражений
получим:
.
(12)
Следовательно, проекция силы на некоторое конкретное направление численно равна частной производной от потенциальной энергии по этому направлению взятой с обратным знаком. Формула (12) позволяет получить общее выражение для вектора силы. Для этого, выберем в качестве конкретного направления перемещение вдоль оси «x» декартовой системы координат. В этом случае координаты «y» и «z» будут постоянны, а соотношение (12) необходимо записать в следующем виде:
,
где
– проекция силы на ось «x»,
– частная производная от потенциальной
энергии по координате «x».
Аналогично для проекций на другие оси
получим
и
.
Теперь вектор силы можно выразить через его проекции:
,
где
– орты осей декартовой системы координат.
Последнее выражение можно записать
короче, для этого используется оператор
градиента (grad), который
является сокращенной записью выражения
стоящего в фигурной скобке:
.
Это соотношение является общим выражением связи между силой, действующей на тело, и потенциальной энергией этого же тела в консервативных системах.
2.7 Сила трения
Силы трения весьма разнообразны. Так, например, силы трения возникают при движении одного тела по поверхности другого. Силы трения возникают также, если тело имеет форму шара или цилиндра и перемещается за счет качения. В этом случае говорят о трении качения. Если тело движется в жидкости или газе то также возникают силы трения, препятствующие движению тела. Эти силы зависят от формы, размеров и скорости движения тела по отношению к среде. Если в жидкости или в газе два соседних слоя двигаются с разными скоростями, то между ними также действует сила трения. В этом случае явление называется внутренним трением.
Трение между поверхностями двух твердых тел при отсутствии какой-либо прослойки между ними, например, смазки, называют сухим трением.
Далее рассматривается только сухое трение. Другие силы трения рассматриваются в последующих разделах курса физики.
В случае сухого трения сила трения возникает не только при скольжении одного тела по поверхности другого, но также при попытках вызвать такое скольжение (т.е. при попытке сдвинуть тело с места). Иначе говоря, если приложенная к телу сила меньше некоторой величины, то движение вызвать невозможно. Силу, действующую между поверхностями соприкосновения в этом случае, называют силой трения покоя. Если величина приложенной к телу силы больше этой величины, то возникает скольжение тела по поверхности другого тела. Сила трения, если тело движется, направлена противоположно скорости тела. Как следует из экспериментальных исследований, величина силы трения в этом случае практически не зависит от скорости тела и площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от силы, с которой трущиеся поверхности «прижимаются» друг к другу и от свойств самих поверхностей (например, шероховатости). Движущееся тело «прижимается» силой нормального давления, т.е. силой с которой движущееся тело действует на поверхность того тела, по которому происходит скольжение. Термин – нормальное давление подчеркивает то обстоятельство, что эта сила нормальна (перпендикулярна) поверхности скольжения. По III закону Ньютона и поверхность скольжения, действует на движущееся тело с такой же по величине и противоположно направленной силой. Эта сила называется реакцией опоры. Поэтому величина силы трения равна:
Fтр = N,
где – коэффициент трения, зависящий от свойств соприкасающихся поверхностей; N – реакция опоры Отметим еще раз, что последняя формула определяет только величину силы трения, но не направление силы трения, которое всегда противоположно скорости движения тела.
В качестве примера рассмотрим
соскальзывание тела массы m
с наклонной плоскости с углом при
основании α (рис.8).
На тело действуют три силы: сила тяжести
,
сила трения
и сила реакции опоры
.
Результирующая этих трех сил согласно
II закону Ньютона
вызывает движение тела с ускорением
вдоль наклонной плоскости:
Рис.8
.
Проекции векторов на оси координат, указанные на рис.8, дают два уравнения:
.
Из второго уравнения определяем реакцию опоры и затем величину силы трения:
.
Первое уравнение позволяет рассчитать ускорение тела:
.
При малых углах наклона тело будет оставаться неподвижным. Для этого необходимо чтобы:
.
Таким образом, при
тело будет неподвижным на наклонной
плоскости, т.е. сила трения покоя в этом
случае достаточна, чтобы удержать тело
и не позволить ему соскальзывать с
наклонной плоскости.