5.4. Космические скорости

Для запуска ракет в космическое пространство надо в зависимости от поставленных целей сообщать им определенные начальные скорости, называемые космическими.

Первой космической (или круговой) скоростью называют такую скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло двигаться по круговой орбите, т.е. превратиться в искусственный спутник Земли.

На спутник массы m, движущийся по круговой орбите радиуса r, действует сила тяготения Земли, сообщающая ему нормальное (центростремительное) ускорение .,

Если спутник движется недалеко от поверхности Земли, то тогда _з (R_з – радиус Земли). В этом случае сила тяжести выполняет функцию центросремительной силы:

Откуда для первой космической скорости получаем:

7,9 км/с.

Второй космической (или параболической) скоростью называют ту наименьшую скорость, которую надо сообщить телу, чтобы оно могло преодолеть притяжение Земли и превратиться в спутник Солнца. Для того чтобы тело могло преодолеть земное притяжение и уйти в космическое пространство, необходимо, чтобы его кинетическая энергия была равна работе, совершаемой против сил тяготения Земли:

,

где М- масса Земли, R_з – радиус Земли. Так как то

вторая космическая скорость будет 11,2 км/с.

Третьей космической скоростью называют такую скорость, которую необходимо сообщить телу на экваторе Земли в направлении орбитального движения Земли, чтобы оно покинуло пределы Солнечной системы преодолев притяжение как Земли так и Солнца. В этом случае стартовой площадкой является сама Земля, которая движется по орбите вокруг Солнца и поэтому используется скорость орбитального движения Земли как стартовая скорость ракеты. Кроме этого, если запуск производится в экваториальных широтах, то можно использовать также и тангенциальную скорость движения поверхности Земли. Скорость движения Земли по орбите вокруг Солнца 29,7 км/с, тангенциальная скорость поверхности Земли на экваторе, определяемая суточным вращением Земли, составляет 0,47 км/с. Третья космическая скорость, если в качестве стартовых скоростей используются орбитальная скорость движения Земли и тангенциальная скорость вращения поверхности Земли на экваторе, составляет  = 13,5 км/с .

Контрольные вопросы и задачи

1. Период обращения Юпитера вокруг Солнца в 12 раз больше соответствующего периода обращения для Земли. Считая орбиты планет круговыми, определить во сколько раз расстояние от Юпитера до Солнца превышает расстояние от Земли до Солнца.

2. На какой высоте над поверхностью Земли ускорение свободного падения в 2 раза меньше ускорения свободного падения на земной поверхности? (Радиус Земли – R_з = 6370 км).

3. Масса ракеты, двигающейся по круговой траектории вокруг Земли, равна m = 10 т. Движение ракеты происходит на высоте 200 км над поверхностью Земли. Определить потенциальную энергию, которую имеет ракета относительно поверхности Земли.

Какую энергию необходимо затратить для того, чтобы этот спутник преодолел притяжение Земли и стал искусственной планетой, вращающейся по той же орбите, что и Земля?

4. Найти линейную скорость движения Земли по орбите, если принять, что масса Солнца равна 2-10³⁰ кг и расстояние от Земли до Солнца равно 1,5-10⁸ км. Орбиту Земли считать круговой

5. Планета Марс имеет два спутника Фобос и Деймос. Первый находится на расстоянии R = 9500 км oт центра Марса, второй – на расстоянии R = 24000 км. Найти периоды обращения этих спутников вокруг Марса. Масса Марса составляет 0,108 массы Земли. Орбиты спутников принять круговыми.

6. На каком расстоянии от центра Земли и с какой скоростью должен двигаться спутник по круговой траектории, лежащей в плоскости экватора, чтобы он находился все время над одной и той же точкой Земной поверхности? (масса Земли – М_з = 5,9 · 10²⁴ кг).Такие спутники называют геосинхронными и они используются для передачи телефонных и телевизионных сигналов.

7. Период обращения двойной звезды равен 2 годам. Скорости компонент двойной звезды  = 10 км/с и  = 5 км/с. Принимая, что движение звезд происходит по круговым орбитам, определить расстояние между компонентами этой двойной звезды и массы компонент (скорости определяются по эффекту Доплера для спектральных линий оптического диапазона; период – по затмениям).

8. Чему равны сила тяжести и вес тела, если масса тела m = 50 кг и тело движется с ускорением а = 3 м/с², направленным вертикально вниз вблизи поверхности Земли?