Спектр периодической последовательности дельта-импульсов в соответствии с формулой для u(t) имеет следующий вид:

Рис. 4.9. Спектр периодической последовательности δ-импульсов

4.2. Спектр дискретизированного сигнала

Рассмотрим временные диаграммы исходного непрерывного и дискретизированного сигналов:

Рис. 4.10. Временные диаграммы непрерывного и дискретизированного сигналов

s_д(t) = s(t)U_δ(t) – дискретизированный сигнал

s(t) – исходный сигнал.

U_δ(t) – периодическая последовательность δ-импульсов

Разложим периодическую последовательность -импульсов в ряд Фурье, как мы это делали выше:

Найдём спектр дискретизированного сигнала.

(4.4)

Т.о. мы видим, что спектр дискретизированного сигнала содержит спектр исходного сигнала S_x(Ω), спектр исходного сигнала смещенный на величину частоты дискретизации вправо S_x(Ω - _д), тот же спектр смещенный на величину частоты дискретизации влево S_x(Ω + _д), тот же спектр смещенный на величину 2_д и т.д.

Рис. 4.11. Спектр исходного непрерывного сигнала

Рис. 4.12. Спектр дискретизированного сигнала

4.3. Спектр сигнала дискретизированного импульсами конечной длительности (амплитудно-импульсно модулированный (аим) сигнал)

Очевидно, что реально мы располагаем не последовательностью дельта-импульсов, а последовательностью импульсов конечной длительности.

В результате процесса дискретизации мы получим не последовательность дельта-импульсов, амплитуда которых соответствует значению непрерывного сигнала в тактовые моменты времени, а последовательность реальных, например, прямоугольных импульсов, амплитуда которых соответствует значениям непрерывного сигнала в тактовые моменты времени.

Рис. 4.13. Временные диаграммы формирования АИМ сигнала

АИМ сигнал можно записать в виде:

,

где U(t) – периодическая последовательность импульсов.

В квадратных скобках – ряд Фурье для последовательности импульсов конечной длительности.

Спектр АИМ сигнала, следовательно, похож на спектр дискретизированного сигнала при дискретизации дельта-импульсами, но амплитуда составляющих спектра убывает с ростом номера гармоники:

(4.5)

Спектр АИМ сигнала в соответствии с формулой (4.5) принимает вид, показанный на рис. 4.14.

Рис. 4.14. Спектр АИМ сигнала

4.4. Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов

В линию связи передаются импульсы-отсчёты, которые поступают на вход приёмника.

Для восстановления исходного непрерывного сигнала из импульсов-отсчётов надо эти импульсы подать на вход идеального фильтра низких частот (ИФНЧ), который имеет следующие характеристики.

Амплитудно-частотная характеристика идеального ФНЧ (АЧХ ИФНЧ) имеет вид:

Рис. 4.15. АЧХ идеального фильтра низких частот

Импульсная реакция ИФНЧ, т.е. реакция на дельта-импульс имеет вид:

Рис. 4.16. Импульсная реакция ИФНЧ на δ-импульс

; ω_вt = kπ; (4.6)

Первая формула – это выражение для импульсной реакции ИФНЧ, вторая и третья формулы определяют моменты времени, для которых g_ИФНЧ(t) обращается в ноль.

При прохождении дискретизированного сигнала, вид спектра которого представлен на рисунке 4.12 или 4.14 через ИФНЧ, АЧХ которого имеет вид представленный на рис. 4.15, на выходе получим спектр:

S()= KS_д() = K S_x()/t;

для АИМ сигнала, соответственно:

S()= KS_д() = K a₀S_x()/2.

Таким образом, с точностью до постоянного множителя мы получили на выходе ИФНЧ спектр исходного сигнала s(t). С временной точки зрения мы получили исходный непрерывный сигнал s(t).