5.2. Нормальный случайный процесс (гауссов процесс)

Процесс называется нормальным или гауссовым, если его одномерная ФПВ имеет вид:

Графики нормальной ФПВ построены на рис. 5.2:

Рис. 5.2. Графики нормальной функции плотности вероятности СП:

m₁ – среднее значение случайного процесса; ² – дисперсия случайного процесса

Свойства нормального случайного процесса.

1. W(x)  0

2. Нормальная ФПВ симметрична относительно x = m₁

3. W(x) – max при х = m₁

4. Площадь под кривой W(x) равна 1.

5. При изменении m₁ форма кривой не меняется, но кривая смещается вдоль оси х.

6. Чем больше дисперсия ², тем кривая ниже и шире.

7. С вероятностью близкой к 1 (Р  0,997) мгновенные значения нормального случайного процесса лежат в пределах: m₁ - 3 < x < m₁+3

Рис. 5.3. Пределы распределения СП с вероятностью 0,997

Если известна дисперсия и m₁, то рабочий участок ВАХ должен иметь протяженность m₁  3.

8. ФРВ для нормального случайного процесса

–табулированная функция (интеграл вероятности Лапласа)

F(0) = 0,5 F(-x) = 1- F(x)

F(3,9) = 0,99995 F(-) = 0; F() = 1.

ФРВ для нормального процесса имеет вид:

Рис. 5.4. Функция распределения вероятностей нормального процесса

5.3. Фпв и фрв для гармонического колебания со случайной начальной фазой

Рассмотрим случайный процесс в виде гармонического колебания со случайной начальной фазой:

X(t) = A∙sin (ωt + )

 – случайная величина, равномерно распределенная на интервале  , т.е. ФПВ мгновенных значений фазы, показанная на рис. 5.5 равна:

; |x|  

Рис. 5.5. ФПВ мгновенных значений фазы  гармонического колебания

Вычислим среднее значение :

Вычислим дисперсию:

ФПВ мгновенных значений x гармонического колебания со случайной фазой, изображенная на рис. 5.6, имеет вид:

Рис. 5.6. ФПВ мгновенных значений x гармонического колебания со случайной фазой

Чем больше А, тем кривая ниже и шире. Заштрихованная площадь равна единице. Это площадь под кривой W(x) (условие нормировки).

ФРВ мгновенных значений для гармонического колебания со случайной фазой:

X(t) = A∙sin (ωt + )

Рис. 5.7. ФРВ мгновенных значений x гармонического колебания со случайной фазой

5.4. Фпв для суммы нормального случайного процесса и гармонического колебания со случайной начальной фазой

Рассмотрим случайный процесс z(t), равный:

z(t) = x(t) + A∙sin (ωt + )

где x(t) – нормальный случайный процесс;

A∙sin (ωt + ) – гармоническое колебание со случайной начальной фазой. W(z) в этом случае находится сверткой.

Вид ФПВ, т.е. W(z) зависит от параметра:

Рис. 5.8. ФПВ для суммы нормального случайного процесса и гармонического колебания

со случайной начальной фазой: h² = 0 – нормальный случайный процесс (чистый шум); h²   – одно гармоническое колебание

5.5. Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса

Случайный процесс y(t) = U_m(t)∙cos(₀t + (t)) называется узкополосным, если его ширина спектра значительно меньше, чем средняя частота ₀ (рис. 5.9).

Для нормального случайного процесса фаза (t) распределена равномерно (см. выше).

Рис. 5.9. Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса:

U_m(t) – огибающая случайного процесса (случайная амплитуда);

(t) – фаза случайного процесса

Огибающая нормального случайного процесса Um(t) распределена по закону Релея:

Рис. 5.10. Огибающая распределения нормального случайного процесса и суммы нормального шума и гармонического колебания

Если узкополосный случайный процесс есть сумма нормального шума и гармонического колебания с амплитудой А, то его огибающая распределена по обобщенному закону Релея (закон Райса):

–закон Райса.

I₀(.) – функция Бесселя от мнимого аргумента.