10. Спектры мощности.

Временная функция мощности сигнала в общей форме определяется выражением:

w(t) = s(t) s^*(t) = |s(t)|².

Спектральная плотность мощности, соответственно, равна преобразованию Фурье произведения s(t)·s^*(t), которое отобразится в спектральном представлении сверткой Фурье-образов этих функций:

(3.15)

Но для всех текущих значений частоты f интеграл в правой части этого выражения равен произведению S(f)·S^*(f), так как для всех значений сдвига v ≠ 0 в силу ортогональности гармоник S(f) и S^*(f - v) значения их произведения равны нулю. Отсюда:

W(f) = S(f) _* S^*(f) = |S(f)|². (3.16)

Спектр мощности – вещественная неотрицательная четная функция, которую очень часто называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектра сигнала, не содержит фазовой информации о частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности.

Для функций мощности взаимодействия сигналов в частотной области соответственно имеем частотные спектры мощности взаимодействия сигналов:

W_xy(f) = X(f) Y*(f),

W_yx(f) = Y(f) X*(f),

W_xy(f) = W*_yx(f).

Функции мощности взаимодействия сигналов комплексные, даже если обе функции x(t) и y(t) вещественны, при этом Re[W_xy(f)] – четная функция, а Im[W_xy(f)] – нечетная. Отсюда полная энергия взаимодействия сигналов при интегрировании функций мощности взаимодействия определяется только реальной частью спектра:

и всегда является вещественным числом.

11. Равенство Парсеваля. Полная энергия спектра сигнала:

(3.17)

Так как координатное и частотное представление по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала, то равной должна быть и энергия сигнала в двух представлениях, откуда следует равенство Парсеваля:

т.е. энергия сигнала равна интегралу модуля его частотного спектра – сумме энергий всех частотных составляющих сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия сигналов:

Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:

(x(t),y(t)) = (X(f),Y(f)), ||x(t)||² = ||X(f)||².

Не следует забывать, что при представлении спектров в круговых частотах (по ω) в правой части приведенных равенств должен стоять множитель 1/2π.

4. Сигналы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова

4.1. Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова

Как отмечено ранее, любые сигналы конечной длительности теоретически имеют бесконечно широкий спектр частот. В то же время доля энергии, передаваемая на высоких частотах, очень мала и ею при расчете полной энергии сигнала можно пренебречь. Следовательно, сигналы с ограниченным спектром являются удобными математическими моделями реальных сигналов.

В 1933 году В. А. Котельников доказал, что сигнал s(t) с ограниченной полосой частот, не имеющий спектральных компонент с частотами, которые превышают значение ω_в = 2πF_в, однозначно определяется значениями, выбранными через равные промежутки времени [1]

Δt = π/ω_в = 1/2F_в.

Известно, что при аналогово-цифровом преобразовании, чем меньше частота оцифровки (или больше период дискретизации) и грубее квантование сигнала, тем меньше данных необходимо для представления аналогового сигнала в цифровом виде. С другой стороны с уменьшением объема данных увеличивается вероятность потери информации содержащейся в сигнале.

Чтобы продемонстрировать искажение информации при неправильном выборе частоты дискретизации сигнала рассмотрим примеры.

Пример.

Гармонический сигнал имеет частоту f (период T = 1/f). Проведем дискретизацию сигнала с периодом дискретизации T_д меньшим половины периода входного сигнала T (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Дискретизация сигнала с периодом Т_д < Т/2

Очевидно, что дискретные отсчеты сигнала однозначно не отображают форму исходного сигнала, в частности по получившимся точкам можно построить гармонический сигнал с периодом T_искаж., отличающимся от периода исходного сигнала T. Период T_искаж. больше периода исходного сигнала T, соответственно частота меньше, частоты исходного сигнала f (рис. 4.2).

Данный эффект называется стробоскопическим эффектом или алиасингом. Он заключается в появлении ложной низкочастотной составляющей при дискретизации сигнала с частотой меньшей удвоенной частоты исходного сигнала (или с периодом большим половины периода исходного сигнала), отсутствующей в исходном сигнале.

Рис. 4.2. Стробоскопический эффект дискретизации

При дискретизации с периодом равным половине исходного аналогового сигнала (f_д = 2f) возникает неопределенность начальной фазы и амплитуды сигнала, т.е. возможно зеркальное искажение (противофаза), при этом частота исходного сигнала не искажается. В крайнем случае, мы можем получить отсчеты сигнала равные нулю (рис. 4.3).

Рис. 4.3. Дискретизация сигнала с периодом Т_д = Т/2

Если период дискретизации меньше половины периода исходного сигнала, то очевидно, что через получившиеся после оцифровки точки можно построить только один гармонический сигнал, соответствующий исходному, без искажения начальной фазы, амплитуды и частоты (рис. 4.4).

Рис. 4.4. Дискретизация сигнала с периодом Тд < Т/2

Таким образом, для адекватного восстановления гармонического сигнала по дискретным отсчетам, период дискретизации должен быть не меньше половины периода сигнала. Частота равная половине частоты дискретизации называется частотой Найквиста f_N = f_д/2.

Таким образом, аналоговый сигнал с ограниченным спектром может быть восстановлен однозначно и без искажений по своим дискретным отсчетам, взятым с частотой большей удвоенной максимальной частоты его спектра F_д > 2·F_max.

Данное утверждение известно как теорема Котельникова (в западной литературе теорема Найквиста-Шеннона) или теорема отсчетов.

Рис. 4.5. Временные диаграммы непрерывного сигнала s(t) и дискретизированного s_д(t)

Важно, что не надо передавать непрерывно исходный сигнал s(t), достаточно передавать отсчёты s(kt). Это первый шаг перехода от непрерывного сигнала к цифровому. С точки зрения математики теорема Котельникова означает представление сигнала в виде ряда:

, (4.1)

где s(k∆t) – отсчёты;

(sin ω_в(t - k∆t)) / ω_в(t - k∆t) – функции отсчётов.

Ряд Котельникова – это разложение сигнала s(t) в ряд по ортогональным функциям φ_k(t).

(4.2)

Теоретически дискретизация осуществляется с помощью -импульсов.

;

Рис. 4.6. Временная диаграмма одиночного -импульса

Спектр одиночного -импульса получим, используя преобразование Фурье:

Использовано "фильтрующее" свойство дельта-функций:

Следовательно, спектр одиночного дельта-импульса имеет вид:

Рис. 4.7. Спектр одиночного δ-импульса

Чтобы получить отсчёты функции s(t) перемножим функцию s(t) на периодическую последовательность дельта-импульсов с периодом Т = t.

Рис. 4.8. Временная диаграмма периодической последовательности

δ-импульсов

Так как сигнал периодический, то его спектр будет дискретным.

(4.3)

;

Т = t; ω_д – частота дискретизации.