7.2. Автокорреляция дискретного сигнала

По аналогии с формулой (7.1) АКФ дискретного сигнала {s_k} и его задержанной копии на время τ = nΔt_д {s_k-n} может быть представлена в виде

(7.6)

Эта функция, зависящая от числа тактов сдвига дискретной последовательности n, как и обычная АКФ, является четной, т. е. При нулевом сдвиге n = 0 дискретная АКФ определяет энергию дискретного сигнала

(7.7)

В качестве примера рассчитаем АКФ дискретного аналога импульса прямоугольной формы с единичными амплитудами {1, 1, 1}. Копии этого сигнала и значения дискретной АКФ имеют вид рис. 7.3:

n = 0, {1, 1, 1} 1 + 1 + 1= 3

n = 1, {0, 1, 1, 1} 1 + 1 = 2

n = 2, {0, 0, 1, 1, 1} 1

n = 3. {0, 0, 0, 1, 1, 1} 0

Рис. 7.3. Автокорреляционная функция дискретного сигнала

Как и в случае аналоговых видеоимпульсов, лепестки дискретной АКФ с увеличением сдвига n уменьшаются по линейному закону.

Изменим форму дискретного сигнала, так что он будет описываться в виде последовательности {1, 1, – 1}. Тогда его АКФ будет иметь вид рис. 7.4:

n = 0, {1, 1, -1} 1 + 1 + 1= 3

n = 1, {0, 1, 1, -1} 1 - 1 = 0

n = 2, {0, 0, 1, 1, -1} -1

n = 3. {0, 0, 0, 1, 1, -1} 0

Рис. 7.4. Автокорреляционная функция дискретного сигнала

Сравнивая дискретные АКФ на рис. 7.3 и рис. 7.4, можно отметить, что именно сигнал {1, 1, – 1} имеет наиболее совершенную с точки зрения уровня боковых лепестков корреляционную функцию. Этот сигнал является простейшим из семейства сигналов Баркера, представляющих из себя М-позиционные сигналы, у которых значения боковых лепестков АКФ при n ≠ 0 не превышают единицы. Энергия этих сигналов всегда равна числу позицийМ. Доказано, что число М в сигналах Баркера не может превышать числа 13. К настоящему времени известны сигналы, у которых число позиций M равно 3, 4, 5, 7, 11 и 13.

7.3. Связь корреляционной функции с энергетическим спектром

Как отмечалось в 3 разделе, преобразования Фурье обладают частотно-временной дуальностью. Это означает, в частности, что преобразование сигнала, заключающееся в нахождении его автокорреляционной функции, должно иметь дуальное соответствие в частотной области. Для установления этой связи воспользуемся выражением теоремы Парсеваля,

(7.8)

в котором положим u(t) = s(t + τ) и соответственно .

Тогда получим

(7.9)

Учитывая, что , приходим к соотношению

(7.10)

(7.11)

Итак, прямое преобразование Фурье (7.11) корреляционной функции B_S(τ) позволяет получить энергетический спектр сигнала W_S(ω) (спектральную плотность мощности), а обратное преобразование (7.10) определяет корреляционную функцию. Выражения (7.10) и (7.11) составляют суть теоремы, известной как теорема Винера-Хинчина.

Из выражений (7.10) и (7.11) можно сделать следующие выводы.

1. Чем шире спектр сигналаs(t), тем меньше интервал корреляции τ_k .

2. Чем больше интервал корреляции τ_k заданного сигнала, тем меньше ширина его спектра.

3. Корреляционная функция B_S(τ) не зависит от ФЧХ спектра сигнала. Но так как форма сигнала s(t) при заданном амплитудном спектре существенно зависит от ФЧХ, то можно заключить, что различным по форме сигналам, имеющим одинаковые амплитудные спектры, соответствуют одинаковые корреляционные функции B_S(τ).

Необходимо отметить, что полученная связь между автокорреляционной функцией и энергетическим спектром позволяет установить критерий существования сигнала с заданными характеристиками. Известно, что энергетический спектр любого сигнала, по определению, всегда положителен. Это означает, что корреляционная функция не может иметь, например вид прямоугольника, так как в этом случае энергетический спектр должен описываться знакопеременной функцией, что противоречит физическим представлениям.