- •Теория электрической связи
- •Оглавление
- •Сообщения, сигналы и помехи
- •1. Общие сведения о системах электрической связи
- •1.1. Информация, сообщения, сигналы и помехи
- •1.2. Общие принципы построения систем связи
- •1.3. Классификация систем связи
- •2. Математическая модель сигналов
- •2.1. Математическое описание сигнала
- •2.2. Математическое представление сигналов
- •2.3. Геометрическое представление сигналов
- •2.4. Представление сигналов в виде рядов ортогональных функций
- •3. Спектральные характеристики сигналов
- •3.1. Спектральное представление периодических сигналов
- •3.2. Спектральное представление непериодических сигналов
- •3.3. Основные свойства преобразования Фурье:
- •10. Спектры мощности.
- •4. Сигналы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова
- •4.1. Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова
- •Спектр периодической последовательности дельта-импульсов в соответствии с формулой для u(t) имеет следующий вид:
- •4.2. Спектр дискретизированного сигнала
- •4.3. Спектр сигнала дискретизированного импульсами конечной длительности (амплитудно-импульсно модулированный (аим) сигнал)
- •4.4. Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов
- •4.5. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов
- •5. Случайные процессы
- •5.1. Характеристики случайных процессов
- •Функция распределения вероятностей сп (фрв).
- •Двумерная фрв.
- •Функция плотности вероятностей случайного процесса (фпв)
- •5.2. Нормальный случайный процесс (гауссов процесс)
- •5.3. Фпв и фрв для гармонического колебания со случайной начальной фазой
- •5.4. Фпв для суммы нормального случайного процесса и гармонического колебания со случайной начальной фазой
- •5.5. Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса
- •5.6. Флуктуационный шум
- •6. Комплексное представление сигналов и помех
- •6.1. Понятие аналитического сигнала
- •6.2. Огибающая, мгновенная фаза и мгновенная частота узкополосного случайного процесса
- •7. Корреляционная функция детерминированных сигналов
- •7.1. Автокорреляция вещественного сигнала
- •Свойства автокорреляционной функции вещественного сигнала:
- •7.2. Автокорреляция дискретного сигнала
- •7.3. Связь корреляционной функции с энергетическим спектром
- •7.4. Практическое применение корреляционной функции
- •Методы формирования и преобразования сигналов
- •8. Модуляция сигналов
- •8.1. Общие положения
- •8.2. Амплитудная модуляция гармонического колебания
- •8.3. Балансная и однополосная модуляция гармонической несущей
- •9. Методы угловой модуляции
- •9.1. Принципы частотной и фазовой (угловой) модуляции
- •9.2. Спектр сигналов угловой модуляции
- •9.3. Формирование и детектирование сигналов амплитудной и однополосной амплитудной модуляции
- •9.4. Формирование и детектирование сигналов угловой модуляции
- •10. Манипуляция сигналов
- •10.1. Временные и спектральные характеристики амплитудно-манипулированных сигналов
- •10.2. Временные и спектральные характеристики частотно-манипулированных сигналов
- •10.3. Фазовая (относительно-фазовая) манипуляция сигналов
- •Алгоритмы цифровой обработки сигналов
- •11. Основы цифровой обработки сигналов
- •11.1. Общие понятия о цифровой обработке
- •11.2. Квантование сигнала
- •11.3. Кодирование сигнала
- •11.4. Декодирование сигнала
- •12. Обработка дискретных сигналов
- •12.1. Алгоритмы дискретного и быстрого преобразований Фурье
- •12.2. Стационарные линейные дискретные цепи
- •12.3. Цепи с конечной импульсной характеристикой (ких-цепи)
- •12.4. Рекурсивные цепи
- •12.5. Устойчивость лис-цепей
- •13. Цифровые фильтры
- •13.1. Методы синтеза ких-фильтров
- •13.2. Синтез бих-фильтров на основе аналого-цифровой трансформации
- •Каналы связи
- •14. Каналы электрической связи
- •14.1. Основные определения
- •14.2. Модели непрерывных каналов
- •14.3. Модели дискретных каналов
- •Теория передачи и кодирования сообщений
- •15. Теория передачи информации
- •15.1. Количество информации переданной по дискретному каналу
- •15.2. Пропускная способность дискретного канала
- •15.3. Пропускная способность симметричного дискретного канала без памяти
- •15.4. Методы сжатия дискретных сообщений
- •Построение кода Шеннона-Фано
- •Построение кода Хаффмена
- •15.5. Количество информации, переданной по непрерывному каналу
- •15.6. Пропускная способность непрерывного канала
- •Характеристики типовых каналов многоканальной связи
- •16. Теория кодирования сообщений
- •16.1. Основные понятия
- •16.2. Коды с обнаружением ошибок
- •16.3. Корректирующие коды
- •Соответствие синдромов конфигурациям ошибок
- •Зависимость между n, m и k
- •Неприводимые полиномы p(X)
- •Помехоустойчивость
- •17. Помехоустойчивость систем передачи дискретных сообщений
- •17.1. Основные понятия и термины
- •17.2. Бинарная задача проверки простых гипотез
- •17.3. Приём полностью известного сигнала (когерентный приём)
- •17.4. Согласованная фильтрация
- •17.5. Потенциальная помехоустойчивость когерентного приёма
- •17.6. Некогерентный приём
- •17.7. Потенциальная помехоустойчивость некогерентного приёма
- •18. Помехоустойчивость систем передачи непрерывных сообщений
- •18.1. Оптимальное оценивание сигнала
- •18.2. Оптимальная фильтрация случайного сигнала
- •18.3. Потенциальная помехоустойчивость передачи непрерывных сообщений
- •19. Адаптивные устройства подавления помех
- •19.1. Основы адаптивного подавления помех
- •19.2. Подавление стационарных помех
- •19.3. Адаптивный режекторный фильтр
- •19.4. Адаптивный высокочастотный фильтр
- •19.5. Подавление периодической помехи с помощью адаптивного устройства предсказания
- •19.6. Адаптивный следящий фильтр
- •19.7. Адаптивный накопитель
- •Многоканальная связь и распределение информации
- •20. Принципы многоканальной связи и распределения информации
- •20.1. Общие положения
- •20.2. Частотное разделение каналов
- •20.3. Временное разделение каналов
- •20.3. Кодовое разделение каналов
- •20.4. Синхронизация в спи с многостанционным доступом
- •20.5. Коммутация в сетях связи
- •Эффективность систем связи
- •21. Оценка эффективности и оптимизация параметров телекоммуникационных систем (ткс)
- •21.1. Критерии эффективности
- •21.2. Эффективность аналоговых и цифровых систем
- •Формулы для приближенных расчетов частотной эффективности некоторых ансамблей сигналов
- •Значения выигрыша и информационной эффективности некоторых систем передачи непрерывных сообщений
- •21.3. Выбор сигналов и помехоустойчивых кодов
- •22. Оценка эффективности радиотехнической системы связи
- •22. 1. Тактико-технические параметры радиотехнической системы связи
- •22.2. Оценка отношения сигнал/помеха на входе радиоприемники радиотехнической системы связи
- •22.3. Оптимальная фильтрация непрерывных сигналов
- •22.4. Количество информации при приёме дискретных сигналов радиотехнической системы связи
- •Вероятность ошибок для различных видов сигналов и приёма
- •Количество информации для различных видов сигналов и приёма
- •22.5. Количество информации при оптимальном приёме непрерывных сигналов
- •22.6. Выигрыш в отношении сигнал/помеха
- •Расчетные формулы выигрыша оптимального демодулятора при различных видах модуляции
- •22.7. Пропускная способность каналов радиотехнической системы связи
- •Теоретико-информационная концепция криптозащиты сообщений в телекоммуникационных системах
- •23. Основы криптозащиты сообщений в системах связи
- •23.1. Основные понятия криптографии
- •23.2. Метод замены
- •23.3. Методы шифрования на основе датчика псевдослучайных чисел
- •23.4. Методы перемешивания
- •23.5. Криптосистемы с открытым ключом
- •13.6. Цифровая подпись
- •Заключение
- •Список сокращений
- •Основные обозначения
- •Литература
- •Теория электрической связи
18.2. Оптимальная фильтрация случайного сигнала
Более сложной и общей, чем задача оценивания постоянного параметра, является задача оценивания изменяющегося сообщения (первичного сигнала) на основе наблюдаемой реализации. Такое оценивание принято называть фильтрацией.
Сообщение рассматривается как реализация случайного процесса, множество всевозможных сообщений – как ансамбль реализаций с некоторым вероятностным распределением. Сообщение (первичный сигнал) модулирует несущее колебание, поэтому сигнал на выходе канала связи также случаен. Таким образом, ставится задача по наблюдаемому случайному колебанию оценить другое случайное колебание (первичный сигнал, или закон модуляции), связанное с наблюдаемым в общем случае нелинейным образом (задача нелинейной фильтрации, или демодуляции). Эта задача может быть весьма сложной.
В этом подразделе рассматривается наиболее простой случай оптимальной линейной фильтрации.
Пусть сигнал на входе линейного фильтра представляет собой сумму переданного сигнала S(t) и помехи ξ(t)
x(t) = S(t) + ξ(t).
Требуется найти такую передаточную характеристику K(ω), которая минимизирует средний квадрат погрешности
,(18.8)
где – оценка сигнала на выходе фильтра. Здесь, считаем, что время запаздывания сигнала в фильтре τz = 0, а среднее значение берется по ансамблям сигналов S(t) и помех ξ(t). Считаем также, что S(t) и ξ(t) стационарные взаимно-некоррелированные процессы с известными спектрами плотности мощности Gs(ω) и Gξ(ω). Для отклика сигнала на выходе фильтра запишем
y(t) = L[S(t) + ξ(t)],
где L[-] – оператор линейного преобразования.
Среднеквадратическую погрешность (18.8) можно представить двумя составляющими
,
где – составляющая, обусловленная искажениями сигнала в фильтре (считаем ФЧХ линейной, т.е. φ(ω) = -ωτz); – составляющая, обусловленная действием шума.
Принимая во внимание, что
,
для спектральной плотности мощности имеем
.
В свою очередь, спектральная плотность мощности составляющей шума равна а дляGε(ω) суммарной погрешности получим
. (18.9)
Найдем теперь выражение K(ω) – при котором суммарная погрешность становится минимальной:
,
откуда
,(18.10)
или
. (18.11)
Фильтр (18.11), обеспечивающий минимальную среднеквадратичную погрешность случайного сигнала на фоне белого шума называется оптимальным фильтром Колмогорова-Винера. Следует отметить, что фильтр Колмогорова-Винера с коэффициентом передачи (18.11) физически не реализуем.
Конструктивные результаты в решении задачи синтеза фильтра, оптимального по критерию минимума СКП получил Р. Э. Калман, который в качестве априорных данных о сообщении использовал рекуррентную модель: состояние – наблюдение. Предполагается, что сообщение a(t) порождается линейным стохастическим дифференциальным уравнением состояния
,(18.12)
где n1(t) – нормальный белый шум (порождающий процесс). Физически это означает, что сообщение a(t) моделируется как результат прохождения белого шума через интегрирующую цепь с постоянной времени α = 1/RС.
Рассмотрим случай линейной фильтрации, когда наблюдаемый процесс на входе фильтра задан уравнением наблюдения
x(t) = S(t, a(t)) + ξ(t) = a(t) f(t) + ξ(t),
где сообщение a(t) – задано уравнением (18.12); S(t, a(t)) – сигнал; f(t) – носитель; ξ(t) – белый гауссовский шум.
Принимая во внимание основное условие линейной оптимальной фильтрации, состоящее в том, чтоб ошибка должна быть не коррелированна со входным сигналомx(t), рекурентное соотношение, имеет вид:
(18.13)
(18.14)
Уравнения (18.13) и (18.14) принято называть уравнениями фильтра Калмана. Уравнение (18.13) определяет алгоритм формирования оценки, а, следовательно, и структурную схему фильтра, а (18.14) – ошибку фильтрации .
Структурная схема, моделирующая уравнение (18.13) приведена на рисунке 18.4. Этот фильтр представляет собой динамическую систему с переменным коэффициентом усиления, величина которого зависит от точности текущих оценок (дисперсии погрешности фильтрации) и уровня шумов наблюдения. Иначе говоря, фильтр Калмана можно рассматривать как линейную следящую систему, эффективная полоса пропускания которой, изменяется в процессе работы.
Рис. 18.4. Структурная схема, моделирующая уравнение 18.13