2.2. Математическое представление сигналов

Многие задачи теории связи и радиотехники, например вычисление отклика физической системы на известное входное воздействие, требуют специфической формы представления сигналов.

Способ получения таких моделей сигналов состоит в следующем. Реальный сигнал приближенно представляется суммой некоторых элементарных сигналов, возникающих в последовательные моменты времени. Если теперь устремить к нулю длительность отдельных элементарных сигналов, то, естественно, в пределе будет получено точное представление исходного сигнала. В литературе этот способ описания сигнала получил название динамического представления, подчеркивающее развивающийся во времени процесс.

Широкое применение нашли два способа динамического представления. Согласно первому из них в качестве элементарных сигналов используются ступенчатые функции, возникающие через равные промежутки времени ∆.

В качестве таких функций используются функции включения (рис. 2.3.) или функции Хевисайда σ(t), которые описываются следующим образом

Рис. 2.3. Функция включения

Другая возможность представления сигнала заключается в использовании стандартных прямоугольных функций длительностью ∆. На рис. 2.4 показаны возможные способы представления сигналов.

Рис. 2.4. Динамическое представление сигналов

Как видно (рис. 2.4а), текущее значение сигнала при любом t равно сумме ступенчатых функций

s(t) ≈ s₀ σ(t) + (s₁ - s₀ )σ(t - Δ) + (s₂ - s₁ ) σ(t - 2Δ) + ··· (2.2)

В случае представления аналогового сигнала суммой примыкающих к друг другу прямоугольных импульсов, элементарный импульс с номером k представляется в виде

u_k(t) = s_k[σ(t - t_k ) - σ(t - t_k - Δ)]. (2.3)

Тогда исходный сигнал является суммой элементарных импульсов

(2.4)

Важное значение при динамическом представлении сигнала играет и другая функция, которая называется дельта-функцией δ(t) или функцией Дирака. Такой функцией называется импульсный сигнал, площадь которого, например, A_m ·τ равна 1, причем длительность импульса τ стремится к нулю, а амплитуда импульса A_m стремится к бесконечности.

Если в выражении (2.4) Δ устремить к нулю, то получим формулу динамического представления сигнала

(2.5)

Таким образом, если непрерывную функцию умножить на дельта функцию и произведение проинтегрировать по времени, то результат будет равен значению функции в той точке, где существует δ-функция. В этом заключается фильтрующее свойство дельта-функции.

2.3. Геометрическое представление сигналов

Идеи функционального анализа дали возможность создать теорию сигналов, в основе которой лежит представление сигнала как вектора в некотором бесконечномерном пространстве.

Если имеется некая совокупность сигналов s₁(t), s₂(t) и т. д., имеющих некоторые общие свойства, то их можно объединить в некоторое множество сигналов М = {s₁(t), s₂(t), …}.

Задача разложения сигнала сложной формы на простейшие составляющие сходна с разложением обычного вектора х трехмерного пространства на его составляющие по координатному базису единичных ортогональных векторов i, j, k. Такое представление можно записать как

x = х₁i + х₂ j + x₃k (2.6)

Составляющими вектора х по базису (i, j, k) будут векторы х₁·i, х₂·j, x₃·k. Коэффициенты х₁, х₂, х₃ представляют собой проекции вектора х на координатные оси i, j, k и называются координатами вектора х. Иначе говоря, вектор х в трехмерном пространстве полностью определяется совокупностью его координат х = (х₁, х₂, х₃).

Чтобы перейти к обобщению понятия вектора трехмерного пространства для случая n-мерного пространства, функцию x(t) по аналогии с (2.6) можно представить в виде суммы

(2.7)

где ψ_i – элементарные базисные функции.

Множество векторов {ψ_i} называется линейно независимым (базисом), если условие выполняется лишь тогда, когда всех_i = 0.

Линейно независимые векторы {ψ_i} можно рассматривать как координатные оси пространства.

Метрическим называется линейное пространство, в котором определено расстояние между элементами (векторами) пространства (метрика), т.е. каждой паре элементов, скажем, х и у может быть поставлено в соответствие некоторое вещественное неотрицательное число d(х, у) и способ, в соответствии с которым находится это число.

Среди линейных метрических пространств важное место занимают нормированные пространства.

Для этого вводится новое понятие, соответствующее длине вектора. В математике длину вектора называют его нормой. Пространство сигналов называется нормированным, если каждому вектору s(t) однозначно сопоставлено число || s ||, называемое нормой. Для вещественных аналоговых сигналов в теории сигналов норму сигнала вводят в виде

(2.8)

Для комплексных сигналов норма сигнала представляется

(2.9)

Квадрат нормы называется энергией сигнала E_s

(2.10)

Такая энергия сигнала выделяется на резисторе с сопротивлением 1 Ом. Выражение (2.10) представляется очень удобным, так как отпадает необходимость расшифровывать размерность сигнала, т. е. сигнал задан в виде тока или напряжения.