- •Теория электрической связи
- •Оглавление
- •Сообщения, сигналы и помехи
- •1. Общие сведения о системах электрической связи
- •1.1. Информация, сообщения, сигналы и помехи
- •1.2. Общие принципы построения систем связи
- •1.3. Классификация систем связи
- •2. Математическая модель сигналов
- •2.1. Математическое описание сигнала
- •2.2. Математическое представление сигналов
- •2.3. Геометрическое представление сигналов
- •2.4. Представление сигналов в виде рядов ортогональных функций
- •3. Спектральные характеристики сигналов
- •3.1. Спектральное представление периодических сигналов
- •3.2. Спектральное представление непериодических сигналов
- •3.3. Основные свойства преобразования Фурье:
- •10. Спектры мощности.
- •4. Сигналы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова
- •4.1. Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова
- •Спектр периодической последовательности дельта-импульсов в соответствии с формулой для u(t) имеет следующий вид:
- •4.2. Спектр дискретизированного сигнала
- •4.3. Спектр сигнала дискретизированного импульсами конечной длительности (амплитудно-импульсно модулированный (аим) сигнал)
- •4.4. Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов
- •4.5. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов
- •5. Случайные процессы
- •5.1. Характеристики случайных процессов
- •Функция распределения вероятностей сп (фрв).
- •Двумерная фрв.
- •Функция плотности вероятностей случайного процесса (фпв)
- •5.2. Нормальный случайный процесс (гауссов процесс)
- •5.3. Фпв и фрв для гармонического колебания со случайной начальной фазой
- •5.4. Фпв для суммы нормального случайного процесса и гармонического колебания со случайной начальной фазой
- •5.5. Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса
- •5.6. Флуктуационный шум
- •6. Комплексное представление сигналов и помех
- •6.1. Понятие аналитического сигнала
- •6.2. Огибающая, мгновенная фаза и мгновенная частота узкополосного случайного процесса
- •7. Корреляционная функция детерминированных сигналов
- •7.1. Автокорреляция вещественного сигнала
- •Свойства автокорреляционной функции вещественного сигнала:
- •7.2. Автокорреляция дискретного сигнала
- •7.3. Связь корреляционной функции с энергетическим спектром
- •7.4. Практическое применение корреляционной функции
- •Методы формирования и преобразования сигналов
- •8. Модуляция сигналов
- •8.1. Общие положения
- •8.2. Амплитудная модуляция гармонического колебания
- •8.3. Балансная и однополосная модуляция гармонической несущей
- •9. Методы угловой модуляции
- •9.1. Принципы частотной и фазовой (угловой) модуляции
- •9.2. Спектр сигналов угловой модуляции
- •9.3. Формирование и детектирование сигналов амплитудной и однополосной амплитудной модуляции
- •9.4. Формирование и детектирование сигналов угловой модуляции
- •10. Манипуляция сигналов
- •10.1. Временные и спектральные характеристики амплитудно-манипулированных сигналов
- •10.2. Временные и спектральные характеристики частотно-манипулированных сигналов
- •10.3. Фазовая (относительно-фазовая) манипуляция сигналов
- •Алгоритмы цифровой обработки сигналов
- •11. Основы цифровой обработки сигналов
- •11.1. Общие понятия о цифровой обработке
- •11.2. Квантование сигнала
- •11.3. Кодирование сигнала
- •11.4. Декодирование сигнала
- •12. Обработка дискретных сигналов
- •12.1. Алгоритмы дискретного и быстрого преобразований Фурье
- •12.2. Стационарные линейные дискретные цепи
- •12.3. Цепи с конечной импульсной характеристикой (ких-цепи)
- •12.4. Рекурсивные цепи
- •12.5. Устойчивость лис-цепей
- •13. Цифровые фильтры
- •13.1. Методы синтеза ких-фильтров
- •13.2. Синтез бих-фильтров на основе аналого-цифровой трансформации
- •Каналы связи
- •14. Каналы электрической связи
- •14.1. Основные определения
- •14.2. Модели непрерывных каналов
- •14.3. Модели дискретных каналов
- •Теория передачи и кодирования сообщений
- •15. Теория передачи информации
- •15.1. Количество информации переданной по дискретному каналу
- •15.2. Пропускная способность дискретного канала
- •15.3. Пропускная способность симметричного дискретного канала без памяти
- •15.4. Методы сжатия дискретных сообщений
- •Построение кода Шеннона-Фано
- •Построение кода Хаффмена
- •15.5. Количество информации, переданной по непрерывному каналу
- •15.6. Пропускная способность непрерывного канала
- •Характеристики типовых каналов многоканальной связи
- •16. Теория кодирования сообщений
- •16.1. Основные понятия
- •16.2. Коды с обнаружением ошибок
- •16.3. Корректирующие коды
- •Соответствие синдромов конфигурациям ошибок
- •Зависимость между n, m и k
- •Неприводимые полиномы p(X)
- •Помехоустойчивость
- •17. Помехоустойчивость систем передачи дискретных сообщений
- •17.1. Основные понятия и термины
- •17.2. Бинарная задача проверки простых гипотез
- •17.3. Приём полностью известного сигнала (когерентный приём)
- •17.4. Согласованная фильтрация
- •17.5. Потенциальная помехоустойчивость когерентного приёма
- •17.6. Некогерентный приём
- •17.7. Потенциальная помехоустойчивость некогерентного приёма
- •18. Помехоустойчивость систем передачи непрерывных сообщений
- •18.1. Оптимальное оценивание сигнала
- •18.2. Оптимальная фильтрация случайного сигнала
- •18.3. Потенциальная помехоустойчивость передачи непрерывных сообщений
- •19. Адаптивные устройства подавления помех
- •19.1. Основы адаптивного подавления помех
- •19.2. Подавление стационарных помех
- •19.3. Адаптивный режекторный фильтр
- •19.4. Адаптивный высокочастотный фильтр
- •19.5. Подавление периодической помехи с помощью адаптивного устройства предсказания
- •19.6. Адаптивный следящий фильтр
- •19.7. Адаптивный накопитель
- •Многоканальная связь и распределение информации
- •20. Принципы многоканальной связи и распределения информации
- •20.1. Общие положения
- •20.2. Частотное разделение каналов
- •20.3. Временное разделение каналов
- •20.3. Кодовое разделение каналов
- •20.4. Синхронизация в спи с многостанционным доступом
- •20.5. Коммутация в сетях связи
- •Эффективность систем связи
- •21. Оценка эффективности и оптимизация параметров телекоммуникационных систем (ткс)
- •21.1. Критерии эффективности
- •21.2. Эффективность аналоговых и цифровых систем
- •Формулы для приближенных расчетов частотной эффективности некоторых ансамблей сигналов
- •Значения выигрыша и информационной эффективности некоторых систем передачи непрерывных сообщений
- •21.3. Выбор сигналов и помехоустойчивых кодов
- •22. Оценка эффективности радиотехнической системы связи
- •22. 1. Тактико-технические параметры радиотехнической системы связи
- •22.2. Оценка отношения сигнал/помеха на входе радиоприемники радиотехнической системы связи
- •22.3. Оптимальная фильтрация непрерывных сигналов
- •22.4. Количество информации при приёме дискретных сигналов радиотехнической системы связи
- •Вероятность ошибок для различных видов сигналов и приёма
- •Количество информации для различных видов сигналов и приёма
- •22.5. Количество информации при оптимальном приёме непрерывных сигналов
- •22.6. Выигрыш в отношении сигнал/помеха
- •Расчетные формулы выигрыша оптимального демодулятора при различных видах модуляции
- •22.7. Пропускная способность каналов радиотехнической системы связи
- •Теоретико-информационная концепция криптозащиты сообщений в телекоммуникационных системах
- •23. Основы криптозащиты сообщений в системах связи
- •23.1. Основные понятия криптографии
- •23.2. Метод замены
- •23.3. Методы шифрования на основе датчика псевдослучайных чисел
- •23.4. Методы перемешивания
- •23.5. Криптосистемы с открытым ключом
- •13.6. Цифровая подпись
- •Заключение
- •Список сокращений
- •Основные обозначения
- •Литература
- •Теория электрической связи
12. Обработка дискретных сигналов
12.1. Алгоритмы дискретного и быстрого преобразований Фурье
Дискретные сигналы (как и аналоговые) могут быть представлены во временной и частотной областях. В настоящее время обработка дискретных сигналов чаще всего проводится в частотной области, так как при этом значительно сокращается время и упрощается аппаратура.
Подвергнем дискретной обработке аналоговый импульсный сигнал u(t) длительностью Tи, имеющий спектральную плотность S(ω) (рис. 12.1а, б). Воспользуемся теоретическим представлением дискретизации сигнала периодической последовательностью дельта-функций
(12.1)
где N = Tи/∆t – требуемое число отсчетов, отвечающих теореме Котельникова.
Следовательно выражение для дискретного сигнала (рис. 12.1е) с учетом пределов суммирования (от 0 до N – 1) имеет вид
(12.2)
где uk = u(k∆t).
На основании формулы (12.2) можно сделать вывод, что спектр данного дискретного сигнала имеет периодическую структуру с периодом по оси частот ω1 = 2π/∆t (рис. 12.1г). Мысленно продолжим дискретный сигнал периодически с интервалом Tи (рис. 12.1д) |Сn|
Рис. 12.1. Графики к выводу ДПФ:
а, б – аналоговый сигнал и его спектр; в, г – дискретный сигнал и его спектр;
д – периодическая последовательность дискретного сигнала; е – ДПФ сигнала
unT(t + Tи) = uT(t), n = 0 ± 1, ±2,... .
По аналогии с представлением периодических непрерывных сигналов
где – комплексная амплитудаn-й гармоники. Дискретную функцию unT(t) можно разложить в комплексный ряд Фурье:
(12.3)
где ωн = 2π/Tи = 2π/(N∙∆t) – частота дискретизации сигнала.
Коэффициенты этого ряда
(12.4)
Для определения коэффициентов проделаем следующее. Подставим формулу (12.2) в (12.4) и заменим параметр Tи = N∙∆t. Введем безразмерную переменную y = t/∆t и запишем
Используя фильтрующее свойство дельта – функции, находим
(12.5)
Это соотношение называется дискретным преобразованием Фурье (ДПФ). Дискретное преобразование Фурье по существу представляет собой алгоритм вычисления гармонических составляющих спектра Сn по заданным дискретным отсчетам uk аналогового сигнала u(t), что значительно сокращает время обработки. Характерный вид модулей коэффициентов Сn показан на рис. 12.1е.
Следует отметить ряд свойств ДПФ, которые вытекают из определения (12.5).
1. Дискретное преобразование Фурье обладает свойством линейности: линейной комбинации дискретных сигналов соответствует линейная комбинация их ДПФ.
2. Коэффициент С0 представляет собой среднее значение (постоянную составляющую) всех дискретных отсчетов сигнала
3. Число различных коэффициентов Сn равно числу отсчетов N за длительность сигнала Tи; при n = N коэффициент Сn = С0.
Пример. Определить коэффициенты ДПФ дискретизированного прямоугольного импульса единичной амплитуды, заданного четырьмя отсчетами (N = 4).
Решение. Используя основную формулу (12.5), вычислим пять первых коэффициентов ДПФ: С0 = 4/4 = 1;
При изучении теории ДПФ возникает очевидный вопрос: можно ли по известным коэффициентам ДПФ вычислить отсчетные значения uk непрерывного сигнала? По аналогии с периодическими сигналами представим заданную периодическую последовательность отсчетов комплексным рядом Фурье, заменив t = k∆t, ωн = 2π/(N×∆t) и, учитывая, что суммируется конечное число членов ряда, запишем
(12.6)
Данное соотношение определяет алгоритм обратного дискретного преобразования Фурье (ОДПФ). Формулы (12.5) и (12.6) являются аналогами прямого и обратного преобразований Фурье для непрерывных сигналов.
Выражение (12.5) показывает, что для определения одного коэффициента ДПФ сигнальной последовательности из N отсчетов, необходимо выполнить около N операций умножения на комплексное число и столько же сложений, а для нахождения всех коэффициентов объем вычислений составит N2. В частности, при N = 210 = 1024 надо осуществить более миллиона (10242) умножений и сложений. Если длины обрабатываемых массивов превышают тысячу единиц, то дискретная спектральная обработка сигналов в реальном масштабе времени требует высокопроизводительных вычислительных комплексов.
Многократно сократить число операций позволяет быстрое преобразование Фурье (БПФ), обеспечивающее вычисление коэффициентов ДПФ за меньшее число операций. В основу БПФ положен принцип разбиения заданной последовательности отсчетов дискретного сигнала на несколько промежуточных последовательностей. Для этого число отсчетов N разделяется на множители (например, N = 8 = 2 × 2 × 2, N = 60 = 3 × 4 × 5). Затем определяются спектры этих промежуточных последовательностей и через них находится спектр всего сигнала.
В зависимости от состава, числа и порядка следования указанных множеств можно создать различные алгоритмы БПФ. В цифровой технике удобно обрабатывать сигнальные последовательности со значениями N, являющимся степенью числа два (4, 8, 16 и так далее). Это позволяет многократно делить входную последовательность отсчетов на подпоследовательности.
Пусть требуется вычислить ДПФ дискретного сигнала {u(k∆t)} = {uk}, имеющего четное число отсчетов (рис. 12.2а), причем N = 2r; r – целое число.
Рис. 12.2. Разбиение последовательности uk на две подпоследовательности:
а – входная; б – с четными номерами; в – с нечетными номерами
Представим входную последовательность в виде двух подпоследовательностей с четными и нечетными номерами и половинным числом членов в каждой (рис. 12.2б, в): uчт = u2k; uнч = u2k+1; k = 0, 1, 2,..., N/2 – 1.
Коэффициенты ДПФ для последовательностей с четными и нечетными номерами запишем отдельно:
(12.7)
Коэффициенты Сn результирующего ДПФ входной последовательности можно выразить через параметры Сnчт и Сnнч двух вновь введенных подпоследовательностей. Анализ (12.7) показывает, что в диапазоне номеров отсчетов от 0 до N/2 - 1, ДПФ входной последовательности определяется соотношением:
Cn = Сnчт + exp(-j2πn/N) ∙ Сnнч, n = 0, 12 ,..., N/2 – 1. (12.8)
Так как ДПФ четной и нечетной последовательностей являются периодическими, с периодом N/2, то Сnчт = С(n+N/2)чт; Сnнч = С(n+N/2)нч.
Запишем экспоненциальный множитель в формуле (12.8) при n ≥ N/2, т.е. для ДПФ С(N/2+n)нч, в виде:
С учетом двух последних выражений находим коэффициенты ДПФ входной последовательности для отсчетов с номерами от N/2 до N - 1:
CN/2+n = Сnчт - exp(-j2πn/N) ∙ Сnнч, n = N/2, N/2 + 1, ,..., N - 1. (12.9)
Соотношения (12.8) и (12.9) полностью определяют алгоритмы вычисления коэффициентов с помощью БПФ. Отметим, что экспоненциальные фазовые множители exp(-j2πn/N) в этих алгоритмах учитывают влияние сдвига нечетной подпоследовательности относительно четной.
Чтобы еще уменьшить число вычислений, четную и нечетную подпоследовательности также разбивают каждую на две промежуточные части. Разбиение продолжают вплоть до получения простейших двухэлементных последовательностей. Определив ДПФ данных простейших пар отсчетов, можно вычислить ДПФ четырехэлементных, восьмиэлементных и так далее подпоследовательностей. При объединении ДПФ четной и нечетной подпоследовательностей используют алгоритмы (12.8) и (12.9), подставляя в них соответствующие значения номеров N и n.
Нетрудно заметить, что вычисления по формулам (12.7) не потребуют операций умножения, в (12.7) имеются только сложение и вычитание комплексных чисел. Учитываться же должны лишь операции умножения в алгоритмах (12.8) и (12.9) для различных n при разбиениях массива отчетов на мелкие подпоследовательности. Число этих операций при первом разбиении составляло N/2. Такое же число N/2 операций требуется выполнить при каждом следующем разбиении. Таким образом, вдвое увеличивается число подпоследовательностей и вдвое сокращается наибольшее число n в формулах вычисления спектральной плотности дискретного сигнала.
Вычисление коэффициентов ДПФ последовательности из N отсчетов по алгоритмам БПФ требует примерно N∙log2N операций умножения. Алгоритмы БПФ сокращают число операций по сравнению с алгоритмами ДПФ в N:log2N раз. Например, при количестве отсчетов N = 210, имеем log2N = 10 и сокращение числа операций составляет N : log2N ≈ 100. При очень больших массивах отсчетов входного сигнала выигрыш в скорости обработки может достигать нескольких тысяч.
Таким образом, в алгоритмах БПФ выполняются операции сложения и вычитания с умножением одного из компонентов на экспоненциальный множитель exp(-j2πn/N). Эту базовую для БПФ операцию очень удобно представлять сигнальным графом, называемым в цифровой технике «бабочкой». БПФ по рассмотренному методу называют методом прореживания отсчетов во времени.