- •Теория электрической связи
- •Оглавление
- •Сообщения, сигналы и помехи
- •1. Общие сведения о системах электрической связи
- •1.1. Информация, сообщения, сигналы и помехи
- •1.2. Общие принципы построения систем связи
- •1.3. Классификация систем связи
- •2. Математическая модель сигналов
- •2.1. Математическое описание сигнала
- •2.2. Математическое представление сигналов
- •2.3. Геометрическое представление сигналов
- •2.4. Представление сигналов в виде рядов ортогональных функций
- •3. Спектральные характеристики сигналов
- •3.1. Спектральное представление периодических сигналов
- •3.2. Спектральное представление непериодических сигналов
- •3.3. Основные свойства преобразования Фурье:
- •10. Спектры мощности.
- •4. Сигналы с ограниченным спектром. Теорема Котельникова
- •4.1. Разложение непрерывных сигналов в ряд Котельникова
- •Спектр периодической последовательности дельта-импульсов в соответствии с формулой для u(t) имеет следующий вид:
- •4.2. Спектр дискретизированного сигнала
- •4.3. Спектр сигнала дискретизированного импульсами конечной длительности (амплитудно-импульсно модулированный (аим) сигнал)
- •4.4. Восстановление непрерывного сигнала из отсчётов
- •4.5. Погрешности дискретизации и восстановления непрерывных сигналов
- •5. Случайные процессы
- •5.1. Характеристики случайных процессов
- •Функция распределения вероятностей сп (фрв).
- •Двумерная фрв.
- •Функция плотности вероятностей случайного процесса (фпв)
- •5.2. Нормальный случайный процесс (гауссов процесс)
- •5.3. Фпв и фрв для гармонического колебания со случайной начальной фазой
- •5.4. Фпв для суммы нормального случайного процесса и гармонического колебания со случайной начальной фазой
- •5.5. Огибающая и фаза узкополосного случайного процесса
- •5.6. Флуктуационный шум
- •6. Комплексное представление сигналов и помех
- •6.1. Понятие аналитического сигнала
- •6.2. Огибающая, мгновенная фаза и мгновенная частота узкополосного случайного процесса
- •7. Корреляционная функция детерминированных сигналов
- •7.1. Автокорреляция вещественного сигнала
- •Свойства автокорреляционной функции вещественного сигнала:
- •7.2. Автокорреляция дискретного сигнала
- •7.3. Связь корреляционной функции с энергетическим спектром
- •7.4. Практическое применение корреляционной функции
- •Методы формирования и преобразования сигналов
- •8. Модуляция сигналов
- •8.1. Общие положения
- •8.2. Амплитудная модуляция гармонического колебания
- •8.3. Балансная и однополосная модуляция гармонической несущей
- •9. Методы угловой модуляции
- •9.1. Принципы частотной и фазовой (угловой) модуляции
- •9.2. Спектр сигналов угловой модуляции
- •9.3. Формирование и детектирование сигналов амплитудной и однополосной амплитудной модуляции
- •9.4. Формирование и детектирование сигналов угловой модуляции
- •10. Манипуляция сигналов
- •10.1. Временные и спектральные характеристики амплитудно-манипулированных сигналов
- •10.2. Временные и спектральные характеристики частотно-манипулированных сигналов
- •10.3. Фазовая (относительно-фазовая) манипуляция сигналов
- •Алгоритмы цифровой обработки сигналов
- •11. Основы цифровой обработки сигналов
- •11.1. Общие понятия о цифровой обработке
- •11.2. Квантование сигнала
- •11.3. Кодирование сигнала
- •11.4. Декодирование сигнала
- •12. Обработка дискретных сигналов
- •12.1. Алгоритмы дискретного и быстрого преобразований Фурье
- •12.2. Стационарные линейные дискретные цепи
- •12.3. Цепи с конечной импульсной характеристикой (ких-цепи)
- •12.4. Рекурсивные цепи
- •12.5. Устойчивость лис-цепей
- •13. Цифровые фильтры
- •13.1. Методы синтеза ких-фильтров
- •13.2. Синтез бих-фильтров на основе аналого-цифровой трансформации
- •Каналы связи
- •14. Каналы электрической связи
- •14.1. Основные определения
- •14.2. Модели непрерывных каналов
- •14.3. Модели дискретных каналов
- •Теория передачи и кодирования сообщений
- •15. Теория передачи информации
- •15.1. Количество информации переданной по дискретному каналу
- •15.2. Пропускная способность дискретного канала
- •15.3. Пропускная способность симметричного дискретного канала без памяти
- •15.4. Методы сжатия дискретных сообщений
- •Построение кода Шеннона-Фано
- •Построение кода Хаффмена
- •15.5. Количество информации, переданной по непрерывному каналу
- •15.6. Пропускная способность непрерывного канала
- •Характеристики типовых каналов многоканальной связи
- •16. Теория кодирования сообщений
- •16.1. Основные понятия
- •16.2. Коды с обнаружением ошибок
- •16.3. Корректирующие коды
- •Соответствие синдромов конфигурациям ошибок
- •Зависимость между n, m и k
- •Неприводимые полиномы p(X)
- •Помехоустойчивость
- •17. Помехоустойчивость систем передачи дискретных сообщений
- •17.1. Основные понятия и термины
- •17.2. Бинарная задача проверки простых гипотез
- •17.3. Приём полностью известного сигнала (когерентный приём)
- •17.4. Согласованная фильтрация
- •17.5. Потенциальная помехоустойчивость когерентного приёма
- •17.6. Некогерентный приём
- •17.7. Потенциальная помехоустойчивость некогерентного приёма
- •18. Помехоустойчивость систем передачи непрерывных сообщений
- •18.1. Оптимальное оценивание сигнала
- •18.2. Оптимальная фильтрация случайного сигнала
- •18.3. Потенциальная помехоустойчивость передачи непрерывных сообщений
- •19. Адаптивные устройства подавления помех
- •19.1. Основы адаптивного подавления помех
- •19.2. Подавление стационарных помех
- •19.3. Адаптивный режекторный фильтр
- •19.4. Адаптивный высокочастотный фильтр
- •19.5. Подавление периодической помехи с помощью адаптивного устройства предсказания
- •19.6. Адаптивный следящий фильтр
- •19.7. Адаптивный накопитель
- •Многоканальная связь и распределение информации
- •20. Принципы многоканальной связи и распределения информации
- •20.1. Общие положения
- •20.2. Частотное разделение каналов
- •20.3. Временное разделение каналов
- •20.3. Кодовое разделение каналов
- •20.4. Синхронизация в спи с многостанционным доступом
- •20.5. Коммутация в сетях связи
- •Эффективность систем связи
- •21. Оценка эффективности и оптимизация параметров телекоммуникационных систем (ткс)
- •21.1. Критерии эффективности
- •21.2. Эффективность аналоговых и цифровых систем
- •Формулы для приближенных расчетов частотной эффективности некоторых ансамблей сигналов
- •Значения выигрыша и информационной эффективности некоторых систем передачи непрерывных сообщений
- •21.3. Выбор сигналов и помехоустойчивых кодов
- •22. Оценка эффективности радиотехнической системы связи
- •22. 1. Тактико-технические параметры радиотехнической системы связи
- •22.2. Оценка отношения сигнал/помеха на входе радиоприемники радиотехнической системы связи
- •22.3. Оптимальная фильтрация непрерывных сигналов
- •22.4. Количество информации при приёме дискретных сигналов радиотехнической системы связи
- •Вероятность ошибок для различных видов сигналов и приёма
- •Количество информации для различных видов сигналов и приёма
- •22.5. Количество информации при оптимальном приёме непрерывных сигналов
- •22.6. Выигрыш в отношении сигнал/помеха
- •Расчетные формулы выигрыша оптимального демодулятора при различных видах модуляции
- •22.7. Пропускная способность каналов радиотехнической системы связи
- •Теоретико-информационная концепция криптозащиты сообщений в телекоммуникационных системах
- •23. Основы криптозащиты сообщений в системах связи
- •23.1. Основные понятия криптографии
- •23.2. Метод замены
- •23.3. Методы шифрования на основе датчика псевдослучайных чисел
- •23.4. Методы перемешивания
- •23.5. Криптосистемы с открытым ключом
- •13.6. Цифровая подпись
- •Заключение
- •Список сокращений
- •Основные обозначения
- •Литература
- •Теория электрической связи
23.5. Криптосистемы с открытым ключом
Системы с открытым ключом названы так потому, что ключ, используемый при зашифровании данных, не является секретным и может быть, например, опубликован в средствах массовой информации. Также несекретным является алгоритм зашифрования. Защита данных обеспечивается тем, что для расшифрования необходим другой (секретный) ключ, причем он не может быть определен по открытому ключу зашифрования. Алгоритмы шифрования с открытым ключом называют поэтому несимметричными алгоритмами [20]. Наиболее известен метод шифрования с открытым ключом RSA.
Согласно методу RSA, для генерирования ключей необходимо выполнить следующие действия [18].
1. Выбрать два больших простых числа p и q.
2. Определить их произведение n = pq.
3. Выбрать число d, взаимно простое с числом (p - 1)(q - 1).
4. Определить число e, для которого выполняется условие
ed mod[(p - 1)(q - 1)] = 1.
5. Назвать открытым ключом числа e и n, а секретным ключом числа d и n.
Для применения полученных ключей открытое сообщение необходимо закодировать числами от 0 до n - 1. Каждое такое число M(i) зашифровывается при помощи открытого ключа по формуле
C(i) = [M(i)]e mod(n). (23.4)
Для расшифрования используется формула с секретным ключом
M(i) = [C(i)]d mod(n). (23.5)
Пример. Рассмотрим в качестве простого примера алгоритм RSA, основанный на очень малых числах p и q. Предположим, что шифрованию подлежит сообщение на русском языке [18]. Буквы сообщения можно представить числами от 0 до 32 (см. разд. 23.2).
Тогда за n можно принять число 33, а за простые числа p и q соответственно 3 и 11. Итак, согласно описанному алгоритму:
1) выберем два простых числа p = 3 и q = 11;
2) найдем n = 3 11 = 33;
3) за число d взаимно простое с числом (p - 1)(q - 1) = 20, примем число 3;
4) соотношению e3 mod(20) = 1 удовлетворяют числа 7, 27, 47,…, выберем e = 7.
Итак, открытым ключом для зашифрования является пара чисел e = 7 и n = 33, а закрытым (секретным) ключом для расшифрования – пара чисел d = 3 и n = 33.
Зашифруем слово ДОМ. Буквам Д, О и М соответствуют числа 5, 15 и 13. Используя открытый ключ, получим на основании (23.4) криптограмму, состоящую из чисел:
C1 = 57 mod(33) = 78125 mod(33) = 14;
C2 = 157 mod(33) = 170859375 mod(33) = 27;
C3 = 137 mod(33) = 62748517 mod(33) = 7.
Для расшифрования криптограммы {14, 27, 7} воспользуемся формулой (23.5) и секретным ключом:
M1 = 143 mod(33) = 2744 mod(33) = 5;
M2 = 273 mod(33) = 19683 mod(33) = 15;
M3 = 73 mod(33) = 343 mod(33) = 13.
Легко видеть, что в результате расшифрования получилось исходное открытое сообщение ДОМ. Следует отметить, что на практике применяются настолько большие числа p и q, что, зная e и n (открытый ключ), невозможно найти d за приемлемое время, так как в настоящее время не только не известен достаточно эффективный (полиномиальный) алгоритм разложения большого числа на простые множители, но и сам вопрос о существовании таких алгоритмов (а следовательно, о возможности взлома систем с открытым ключом в будущем) остается открытым [18, 21]. Тем не менее нельзя исключить открытие в будущем эффективных алгоритмов определения делителей целых чисел (факторизации), вследствие чего метод шифрования с открытым ключом станет абсолютно бесполезным. Пока этого не произошло, метод RSA имеет важные преимущества перед другими криптосистемами, такие как очень высокая криптостойкость и простота аппаратной и программной реализации.