5.3. Ймовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності в незалежних випробуваннях

Нехай k – число настання події А в п незалежних випробуваннях, в кожному з яких подія А може відбутися з ймовірністю р (0р1) , – відносна частота події А.

З інтегральної теореми Муавра – Лапласа випливає

(11)

Задача 22. Ймовірність настання події в кожному з 10000 незалежних випробувань дорівнює 0,75. Знайти ймовірність того, що відносна частота настання події відрізняється від ймовірності за абсолютною величиною не більше ніж на 0,001.

Розв’язання. За умовою п=10000, , р=0,75,q=0,25.

Підставивши у формулу (11) числові значення, отримаємо:

Відповідь: 0,182.

Задача 23. Скільки разів потрібно кинути монету, щоб з ймовірністю 0,6 можна було сподіватися, що відхилення відносної частоти появи герба від ймовірності р=0,5 буде за абсолютною величиною не більше 0,01?

Розв’язання. За умовою ,р=0,5, q=0,5.

Застосувавши формулу (11), отримаємо:

. Очевидно, що

Відповідь: 1764 рази.

Запитання для самоконтролю

1. Записати формулу Бернуллі.

2. Записати формулу найімовірнішого числа настання випадкової події.

3. Записати формулу Пуассона. При яких умовах вона застосовується?

4. Сформулювати локальну та інтегральну теореми Муавра-Лапласа.

5. Чому дорівнює ймовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності в незалежних випробуваннях?

Практичні заняття Практичне заняття №1

Тема: Класифікація подій. Алгебра випадкових подій.

Мета: сформувати уявлення про події, вміння класифікувати події, навчити розв’язувати задачі з алгебри подій.

Основні знання, якими повинні оволодіти студенти під час вивчення теми: знати поняття випадкової події, простору елементарних подій, основні види випадкових подій, повну групу подій, основні операції алгебри випадкових подій (об’єднання, перетин, різниця).

Основні вміння, які повинні набути студенти під час вивчення теми: визначати тип події, наводити приклади достовірних, неможливих, випадкових подій, а також сумісних та несумісних, залежних та незалежних, протилежних подій, розв’язувати задачі на операції з випадковими подіями.

План заняття

1. Предмет теорії ймовірностей.

2. Поняття випробування та подій. Простір елементарних подій. Різновид подій. Повна група подій.

3. Алгебра подій: об’єднання, перетин, різниця.

Рекомендована Література

1. Теорія ймовірностей та математична статистика: Навч. посібник для студентів вузів / В.В. Барковський, Н.В. Барковська Н.В., О.К. Лопатін. 3-є вид. перероб. і доп. – К.: Центр навчальної літератури, 2002. - С. 17-25.

2. Математика для психологов: Учебник /А.Н. Киричевец, Е.В. Шикин, А.Г. Дьячков / Под ред. А.Н. Киричевца. – М.:Флинта: Московский психолого-социальный институт, 2003. С. 204-216.

3. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для студентов вузов / Н.Ш. Кремер. -3-е изд., перераб. и доп.- М.: Юнити, 2007. – С. 16-33.

4. Теорія ймовірностей...від найпростішого: Навчальний посібник для студентів вузів / О. Д. Валь, К.С. Королюк, С.В. Мельничук. –Чернівці: Книги-ХХІ, 2004. - С. 6-12.

5. Основи теорії ймовірностей: курс лекцій: Навч. Посібник / В.М. Рабик. – Львів: Магнолія плюс, 2004. - С. 4-14.

6. Курс теории вероятностей: учебник для студентов вузов / В.П. Чистяков. – 7-е изд., исп. и доп. – М: Дрофа, 2007.- С.11-33.

7. Теорія ймовірностей: основні поняття, приклади, задачі: Навчальний посібник / В.М. Турчин. – К.: А.С.К., 2004.- С.17-21.

8. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для студентов вузов / К.В. Балдин, В.Н. Башлыков, А.В. Рукосуев. –М.: Даликов и К, 2008. - С.16-26.

9. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебное пособие для студентов вузов / Ред. В.И. Єрмаков. –М.: Инфра-М, 2008.–С.5-6.

10. Теория вероятностей и математическая статистика: примеры и задачи: Учебное пособие для студентов вузов/ И.В. Белько, Г.П. Свирид. -3-е изд., стереот. – М.: Новое знание, 2007. С.8-11.

11. Посібник з теорії ймовірності та математичної статистики: Навч. посібник для вузів / М.К. Бугір. – Тернопіль: Підручники і посібники, 1998. –С. 4-6.

12. Основи теорії ймовірностей та математичної статистики: Навчальний посібник для студентів / В.П. Бабак, А.Я. Білецький, О.П. Приставка, П.О. Приставка.-К.: КВІЦ.,2003. –С. 15-41.

13. Елементи теорії ймовірностей / В.М. Резанко. Навч. Посібник 3-тє вид., перероб. і доп. – К.: 2006.-С. 16-22.

Методичні вказівки

1. Опрацюйте рекомендовану літературу.

2. Зверніть увагу на сутність понять "подія" та "випробування", з’ясуйте їх відмінність. Яким чином позначають події? Вивчіть означення простору подій, зверніть увагу, що він може мати скінчену, злічену або незлічену множину елементів. Вивчіть означення різновидів випадкових подій. Наведіть приклади.

3. При знайомстві з алгеброю подій необхідно розкрити сутність операцій суми (об’єднання), різниці, добутку (перетину) випадкових подій, а також вміти представляти їх графічно.

задачі для самоконтролю

Задача 1. Визначне види подій:

А – однорічна дитина вступила до університету;

В – староста групи в 2007 році буде святкувати день народження;

С – завтра піде дощ;

D – завтра зійде сонце;

Е – теорію ймовірностей можна вивчити за один день;

F – у наступному році про вас напишуть місцевій газети.

Задача 2. Дві особи стріляють у мішень по одному разу. Подія А полягає у тому, що перший стрілець влучив у мішень, подія В полягає у тому, що другий стрілець влучив у мішень. За допомогою подій А і В записати такі події:

1. С – обидва стрільці влучили в ціль;

2. D – принаймні один стрілець влучив у ціль;

3. Е – лише один стрілець влучив у ціль;

4. F – жодного влучення.

Відповідь: С=А·В, D=А+В+АВ, Е= А+В, F= · .

Задача 3. Стрілець стріляє двічі по мішені. Описати простір елементарних подій. Записати подію, яка полягає в тому що:

1. стрілець влучив принаймні один раз (подія С);

2. стрілець влучив рівно один раз (подія D);

3. стрілець влучив рівно два рази (подія Е);

4. стрілець не влучив у мішень (подія F).

Відповідь: Простір подій {АВ, А, В, }, С=АВ+А+В, D=А+В, Е=АВ, F=, де А – стрілець влучив при І пострілі, В – стрілець влучив при ІІ пострілі.

Задача 4. Робітник виготовив три деталі. Навмання обирається одна деталь. Нехай маємо такі події:

А – взята деталь першого сорту;

В – взята деталь другого сорту;

С – взята деталь третього сорту.

Що означають такі події: 1) А+В; 2) +; 3) А·С; 4) А+В+С?

Відповідь: 1) взята деталь або першого або другого сорту; 2) взята деталь другого сорту; 3) неможлива подія; 4) взята деталь або першого, або другого, або третього сорту.

Задача 5. Серед групи студентів обирають одного навмання, причому розглядаються такі події:

А – обраний студент – юнак;

В – обраний студент не палить;

С – обраний студент живе у гуртожитку.

Що означає подія АВ?

Відповідь: Обраний студент – юнак, який не палить і живе не в гуртожитку.