Властивості операцій над подіями

1. –сума двох протилежних подій достовірна подія;

–добуток двох протилежних подій – неможлива подія,

2. АВ=ВА або АВ=ВА – комутативність;

3. (АВ) С=А(ВС ) або (АВ)С=А(ВС) – асоціативність;

4. (АВ) С=АСВС – перший дистрибутивний закон;

АВС=(АС) (ВС) – другий дистрибутивний закон;

5. ,

–закони де Моргана.

Запитання для самоконтролю

1. Що є предметом вивчення теорії ймовірностей?

2. Які події називають достовірними, неможливими, випадковими? Наведіть приклади.

3. Які події називають сумісними та несумісними, протилежними, рівноможливими? Наведіть приклади.

4. Що називають повною групою подій?

5. Дайте визначення об’єднанню, перетину, різниці подій. Як позначають ці операції? Наведіть приклади.

Тема 2. Основні поняття та принципи комбінаторики

Комбінаторика – це розділ математики, що вивчає вибір та розташування елементів (об’єктів) за певним правилом, а також методи обчислення всіх можливих способів, якими це можна зробити.

Означення. Сукупності, складені з будь-яких елементів, які відрізняються одна від одної або елементами або їх порядком, називаються сполуками.

Означення. Сполука називається упорядкованою, якщо кожному її елементу поставлено у відповідність деяке натуральне число, причому так, що різним елементам відповідають різні числа.

Якщо ця умова не виконується, то сполука є неупорядкованою.

У сполуках елементи можуть повторюватись або не повторюватись.

Сполуки без повторень елементів

Означення. Розміщеннями з n елементів по k (k≤n) називають такі упорядковані сполуки, які складаються з k елементів, взятих з n елементів і відрізняються одна від іншої елементами або їх порядком.

Розглянемо модельні приклади (рис. 2), які допоможуть розкрити нам сутність розміщень.

Приклад. Скількома способами можна розкласти k пронумерованих кульок в n пронумерованих корзин (k≤ n), так, щоб в кожній корзині виявилось не більше однієї кульки.

Розв’яжемо задачу спочатку для n =4, k =2.

Розглянемо рисунок справа: першу кульку ми можемо покласти у будь-яку з чотирьох корзин, після чого другу кульку можна розмістити у будь-яку з трьох корзин, що залишилися. Такі міркування показують, що варіантів може бути 4·3=12, тобто можливими є 12 розміщень.

Розглянемо рисунок зліва: можна представити вибір у вигляді дерева, кожна гілка якого закінчується одним із варіантів розміщень.

Число розміщень з n елементів по k позначається і обчислюється за формулою:

Зауваження. 0!=1.

1		2
1				2
1						2
2		1
		1		2
		1				2
2				1
		2		1
				1		2
2						1
		2				1
				2		1

Рис. 2

Задача 1. З 9 студентів потрібно обрати старосту, культорга та профорга. Скількома способами це можна зробити?

Розв’язання. Шукане число способів обчислюється за формулою , оскільки порядок об’єктів важливий.

Отже,.

Відповідь: 504 способами.

Розглянемо випадок коли k=n.

Означення. Розміщення з n елементів по n називаються перестановками.

Різні перестановки відрізняються лише порядком елементів. Число перестановок з п елементів позначається Р_п і обчислюється за формулою

Р_п=п!, оскільки

Задача 2. Скільки трицифрових чисел можна скласти з цифр 1,2,3, якщо повторення цифр у числах заборонено?

Розв’язання. Шукана кількість чисел обчислюється за формулою Р_п=п!, у даному випадку п = 3, отже Р₃=3!=1·2·3=6.

Відповідь: 6 чисел.

Означення. Сполученням (комбінацією) з n елементів по k називають такі неупорядковані сполуки, які складаються з k елементів, взятих з даних n елементів і відрізняються одна від іншої принаймні одним елементом.

Дамо відповідь на запитання: „Скількома способами можна вибрати з п різних предметів к штук?”. Розглянемо цю ситуацію для n=4, k=2, наприклад, скількома способами можна вибрати з чотирьох пронумерованих корзин дві.

Розглянемо рис. 2. Вибрані корзини будемо відрізняти тим, що кластимемо в них пронумеровані кульки. Однак, як бачимо, кожний вибір пари корзин зустрічається в 12 розміщеннях двічі. Перший вибір знаходимо у першому рядку та в четвертому, другий – у другому та сьомому, третій – у третьому та десятому, і т.д. Отже, вибрати дві корзини з чотирьох можна шістьма способами 12:2=6 або .

Для того, щоб підрахувати скількома способами можна вибрати к корзин з різних п корзин, спочатку обчислюємо кількість розміщень (к різних кульок в п корзинах) і одержане число ділимо на кількість кульок вк корзинах, або на кількість перестановок з к.

Число комбінацій з n елементів по k позначається і обчислюється за формулою:.

Для обчислень доцільно знати, що

1) ;

2) ;

3) .

Задача 3. Скількома способами можна вибрати 2 деталі з ящика, що містить 10 деталей?

Розв’язання. Шукана кількість способів обчислюється за формулою , оскільки порядок елементів не важливий. Отже,.

Відповідь: 45 способами.