Теорема множення ймовірностей залежних подій

Якщо події А і В залежні, то ймовірність добутку цих подій дорівнює добутку ймовірностей однієї з них на умовну ймовірність іншої, за умови, що перша подія відбулася, тобто

або (2)

Наслідок . Ймовірність добутку скінченої кількості залежних подій обчислюється за формулою

Задача 13. Студент прийшов на екзамен, знаючи лише 20 з 25 екзаменаційних питань. Яка ймовірність того, що він знає відповіді на всі три запитання?

Розв’язання Випробування – студент отримає три запитання.

подія А₁ – студент знає відповідь на перше запитання;

подія А₂ – студент знає відповідь на друге запитання;

подія А ₃ –студент знає відповідь на третє запитання.

Оскільки студент знає відповіді лише на 20 запитань із 25, то події А₁, А₂, А₃ – залежні. Тому для розв’язання задачі скористаємося формулою (2) для випадку трьох залежних подій

.

Маємо .

Відповідь: 0,49.

Зауваження. Теореми множення ймовірностей використовуються для того, щоб дати відповідь на запитання: „Події, що розглядаються, залежні чи ні?”

У випадку залежності подій спрацьовує формула (2), у випадку незалежних подій – формула (1).

Приклад. З колоди 36 карт навмання виймають одну карту. Припустимо здійснення таких подій:

подія А – взята карта пікова;

подія В – взята карта дама.

Визначимо залежні події чи ні? Для цього розглянемо добуток подій А і В – подію АВ: „взята карта пікова дама”.

Знайдемо ймовірність подій А, В та АВ:

Р(А)=; Р(В)=; Р(АВ)=.

Відповідно до зауваження, якщо події А і В незалежні, то справедливою буде рівність , а якщо залежні, то ця рівність не виконуватиметься. Перевіряємо її, підставляючи значення ймовірностей,

Рівність справедлива, отже події А і В – незалежні.

3.5. Теореми додавання ймовірностей Теорема додавання ймовірностей несумісних подій

Якщо події А і В несумісні (АВ=), то ймовірність суми цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей

(3)

Наслідок 1. Ймовірність суми скінченої кількості попарно несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій

.

Наслідок 2. Ймовірність протилежної до А, події дорівнює

Наслідок 3. Сума ймовірностей подій, що утворюють повну групу, дорівнює одиниці .

Задача 14. У ящику 10 червоних і 6 синіх ґудзиків. Навмання виймають два ґудзики. Яка ймовірність того, що ґудзики будуть одного кольору?

Розв’язання. Випробування – витягування з ящика двох ґудзиків. Подія А – ґудзики одного кольору; подія А₁ – ґудзики червоні; подія А ₂ – ґудзики сині.

Очевидно А=А₁+А₂, і події А₁ і А₂ несумісні. Скористаємося формулою (3) . Спочатку обчислимо Р(А₁) та Р(А₂).

Число способів взяти 2 ґудзики з 16 дорівнює . Число випадків, сприятливих для події А₁ дорівнює , сприятливих для події А₂ – .

Одержимо, ;

.

Отже, .

Відповідь. .

Теорема додавання ймовірностей сумісних подій.

Якщо події А і В сумісні, то ймовірність суми цих подій дорівнює сумі їх ймовірностей без ймовірності їх добутку

(4)

Зауваження 1. Якщо події А та В незалежні, то формула (4) набуває вигляду: .

Зауваження 2. Якщо події А та В залежні, то формула (4) набуває вигляду:

або

.