- •Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей 8
- •Модульний план
- •Розподіл балів за виконані роботи
- •Критерії оцінювання знань, вмінь та навичок студентів Лекційні заняття
- •Практичні заняття
- •Оцінювання самостійної та індивідуальної роботи
- •Модуль і. Теорія ймовірностей Змістовний модуль 1. Теоретичні основи теорії ймовірностей та комбінаторики
- •Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей
- •1.1. Поняття "випробування" та "подія". Предмет теорії ймовірностей. Коротка історична довідка.
- •Властивості операцій над подіями
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 2. Основні поняття та принципи комбінаторики
- •Сполуки без повторень елементів
- •Сполуки з повторенням елементів
- •Основні принципи комбінаторики
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 3. Ймовірність подій. Основні теореми теорії ймовірностей
- •Властивості ймовірності
- •3.2. Відносна частота. Статистичне означення ймовірності.
- •3.3. Геометричне означення ймовірності
- •Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність. Теореми множення ймовірностей.
- •Теорема множення ймовірностей залежних подій
- •3.5. Теореми додавання ймовірностей Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
- •3.6. Ймовірність настання хоча б однієї події
- •Теорема
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 4. Формула повної ймовірності. Формула Бейєса.
- •4.1. Формула повної ймовірності
- •4.2. Формула Бейєса
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 5. Послідовні незалежні випробування
- •5.1.Схема повторних незалежних випробувань Бернуллі.
- •5.2. Граничні теореми у схемі Бернуллі
- •5.3. Ймовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності в незалежних випробуваннях
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичні заняття Практичне заняття №1
- •Практичне заняття №2
- •Практичне заняття №3
- •Практичне заняття №4
- •Практичне заняття №5
- •Самостійна робота
- •Рівень а
- •Рівень б
- •Рівень в
- •Рівень а
- •Рівень б
- •Рівень в
- •Теми рефератів
- •Задачі для самоперевірки
- •Змістовний модуль 2. Випадкові величини
- •Тема 6. Види випадкових величин та способи їх задання
- •6.1. Поняття випадкової величини. Закони розподілу випадкових величин.
- •6.1.1. Дискретні випадкові величини
- •Числові характеристики двв
- •6.1.2. Неперервні випадкові величини. Щільність розподілу.
- •Основні закони розподілу неперервних величин
- •Числові характеристики ннв
- •Правило трьох сигм
- •6.2. Закон великих чисел та центральна гранична теорема
- •Теорема
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичны заняття Практичне заняття №6
- •Практичне заняття №9
- •Самостійна робота
- •Числові характеристики основних розподілів
- •Рівень а
- •Рівень б
- •Рівень в
- •Задача 1
- •Задача 2
- •10. Неперервна випадкова величина задана інтегральною функцією розподілу:
- •Задачі для самоконтролю
- •Модуль іі. Математична статистика Змістовний модуль 3. Теоретичні основи математичної статистики
- •Тема 7. Предмет та задачі математичної статистики
- •Види та способи відбору
- •Первинна обробка даних
- •Згрупований розподіл накопиченої частоти
- •Розподіл щільності частоти і щільності відносної частоти
- •Емпірична функція розподілу
- •Властивості емпіричної функції розподілу
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 8. Статистичні оцінки параметрів розподілу
- •8.1. Числові характеристики статистичного розподілу
- •Алгоритм методу добутків
- •8.2. Точкові та інтервальні оцінки параметрів розподілу
- •Точкова оцінка математичного сподівання
- •Точкова оцінка дисперсії. Виправлена дисперсія
- •Інтервальні оцінки для математичного сподівання
- •Знаходження об’єму вибірки
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичні заняття Практичне заняття №10
- •Практичне заняття №11
- •Практичне заняття №12-13
- •Практичне заняття №14
- •Самостійна робота
- •Змістовний модуль 4. Статистична перевірка гіпотез. Елементи теорії кореляції і дисперсійного аналізу
- •Тема 9. Статистична перевірка гіпотез
- •Статистичні гіпотези та їх класифікація
- •9.2. Статистичні критерії перевірки нульової гіпотези
- •9.3. Перевірка гіпотези про закон розподілу. Критерій згоди Пірсона.
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 10. Елементи теорії кореляції
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 11. Поняття дисперсійного аналізу. Однофакторний дисперсійний аналіз
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичні заняття
- •Практичне заняття №17
- •Практичне заняття №18
- •Самостійна робота
- •Методичні рекомендації
- •Список використаної та рекомендованої літератури
- •Додатки
- •Математична довідка
- •Властивості функції
- •V. Правила інтегрування функцій
9.2. Статистичні критерії перевірки нульової гіпотези
Як з’ясувалося, висунута гіпотеза може бути хибною, тому виникає необхідність її перевірки.
Оскільки перевірка проводиться статистичними методами, то її називають статистичною.
Статистична значимість, або р-рівень значимості – це основний результат перевірки статистичної гіпотези. Інакше кажучи, це ймовірність того, що знайдений зв’язок носить випадковий характер, а не є властивістю сукупності. Саме статистична значимість є кількісною оцінкою надійності зв’язку: чим менша ця ймовірність, тим надійніший зв’язок.
Чим менше значення р-рівня, тим вища статистична значимість результату дослідження, що підтверджує наукову гіпотезу.
При прийнятті рішень за допомогою гіпотез можуть статися помилки двох родів.
Помилка першого роду полягає в тому, що буде відкинута правильна гіпотеза.
Помилка другого роду полягає в тому, що буде прийнята неправильна гіпотеза.
Ймовірність здійснити помилку першого роду позначають через , Числозадають малим і найчастіше використовують значення, що дорівнюють 0,05, 0,01 і так далі.
Якщо, наприклад, = 0,01, то це означає, що в одному випадку із 100 є ризик допустити помилку першого роду.
Для перевірки гіпотез вибирається статистичний критерій, який умовно позначають через К, де К – випадкова величина, закон розподілу якої відомий.
Означення. Статистичним критерієм або статистикою критерію називають випадкову величину K, яка є основою для перевірки нульової гіпотези.
Для різних гіпотез статистичні критерії є різними.
Множину R значень статистичного критерію К можна розбити на дві підмножини, що не перетинаються – і.
Означення. Значення статистичного критерію підмножини , при яких нульова гіпотеза приймається, називаєтьсяобластю прийняття гіпотези, а значення, при яких гіпотеза Н0 відхиляється критичною областю.
За характером критичні області поділяються на односторонні та двосторонні.
Області А і (прийняття гіпотез і критичні) між собою розділяються точками, які називаютьсякритичними і позначати kкр
Означення. Правосторонню критичною областю називається така область, для якої виконується нерівність К> kкр
Відповідно критична область буде лівосторонньою, якщо виконується нерівність К < kкр.
Означення. Двохсторонньою називають критичну область, яка задовільняє нерівності К< kкр1 і К> kкр2
У більшості випадків для двосторонньої критичної області точки kкр1 і kкр2 розташовані симетрично відносно нуля, тобто kкр1 =-kкр 2.
Перевірка статистичних гіпотез будь-якої природи може бути описана за допомогою такої загальної схеми:
Формулюється статистична гіпотеза Н0.
Вибирається статистичний критерій відповідно до сформульованої гіпотези Н0.
Залежно від нульової гіпотези Н0 і альтернативної Н1 вибирається одностороння або двостороння критична область.
Для побудови критичних областей, необхідно знайти значення критичних точок.
В основі побудови критичної області лежить принцип практичної неможливості здійснення малоймовірної випадкової події при одній спробі, тому задається мала величина ймовірності (=0,01; 0,05) – рівень значущості критерію перевірки правильності гіпотези Н0: на основі відомого розподілу ймовірності критерію К визначається за допомогою спеціальних таблиць критична точка kкр. По знайденому значенню kкр.. відповідно будується лівостороння, правостороння або двостороння критична область.
За результатами вибірки обчислюється спостережуване (емпіричне) значення критерію К* (Кспост.)
Виходячи з вимоги, що при правильності гіпотези Н0 ймовірність того, що К* потрапить у критичну область має дорівнювати прийнятому рівню значимості , перевіряється статистична гіпотеза.
Для визначення критичної області критичні точки шукають із таких співвідношень:
а) для правосторонньої критичної області: РК kкр =, (kкр0);
б) для лівосторонньої критичної області: РК kкр =, (kкр0);
в) для двосторонньої симетричної критичної області:
РК kкр =, (kкр 0);
Якщо К* потрапляє у критичну область, а це подія малоймовірна і вона все таки здійснилася, то нульова гіпотеза Н0 відхиляється. У протилежному випадку – приймається.
Зрозуміло, що для певної гіпотези можна побудувати багато різних критеріїв її перевірки, і за кожним критерієм можемо отримати різні результати щодо прийняття нульової гіпотези на основі тієї самої вибірки, тому для визначення кращого критерію вводиться характеристика, яка називається потужністю критерію.
Означення. Потужністю критерію називають ймовірність потрапляння критерію у критичну область за умови, що конкуруюча гіпотеза є істинною.
Тобто потужність критерію визначається як ймовірність не допустити помилку другого роду при вибраному критерію.
За своїм змістом статистичні гіпотези можна поділити на декілька основних видів:
про рівність числових характеристик генеральних сукупностей;
про числові значення параметрів;
про закон розподілу;
про однорідність вибірок (тобто належність їх одній і тій генеральній сукупності);
про стохастичну незалежність елементів вибірки.
Розглянемо перевірку декількох з основних гіпотез та умови їх прийняття.