- •Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей 8
- •Модульний план
- •Розподіл балів за виконані роботи
- •Критерії оцінювання знань, вмінь та навичок студентів Лекційні заняття
- •Практичні заняття
- •Оцінювання самостійної та індивідуальної роботи
- •Модуль і. Теорія ймовірностей Змістовний модуль 1. Теоретичні основи теорії ймовірностей та комбінаторики
- •Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей
- •1.1. Поняття "випробування" та "подія". Предмет теорії ймовірностей. Коротка історична довідка.
- •Властивості операцій над подіями
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 2. Основні поняття та принципи комбінаторики
- •Сполуки без повторень елементів
- •Сполуки з повторенням елементів
- •Основні принципи комбінаторики
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 3. Ймовірність подій. Основні теореми теорії ймовірностей
- •Властивості ймовірності
- •3.2. Відносна частота. Статистичне означення ймовірності.
- •3.3. Геометричне означення ймовірності
- •Залежні та незалежні події. Умовна ймовірність. Теореми множення ймовірностей.
- •Теорема множення ймовірностей залежних подій
- •3.5. Теореми додавання ймовірностей Теорема додавання ймовірностей несумісних подій
- •3.6. Ймовірність настання хоча б однієї події
- •Теорема
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 4. Формула повної ймовірності. Формула Бейєса.
- •4.1. Формула повної ймовірності
- •4.2. Формула Бейєса
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 5. Послідовні незалежні випробування
- •5.1.Схема повторних незалежних випробувань Бернуллі.
- •5.2. Граничні теореми у схемі Бернуллі
- •5.3. Ймовірність відхилення відносної частоти від сталої ймовірності в незалежних випробуваннях
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичні заняття Практичне заняття №1
- •Практичне заняття №2
- •Практичне заняття №3
- •Практичне заняття №4
- •Практичне заняття №5
- •Самостійна робота
- •Рівень а
- •Рівень б
- •Рівень в
- •Рівень а
- •Рівень б
- •Рівень в
- •Теми рефератів
- •Задачі для самоперевірки
- •Змістовний модуль 2. Випадкові величини
- •Тема 6. Види випадкових величин та способи їх задання
- •6.1. Поняття випадкової величини. Закони розподілу випадкових величин.
- •6.1.1. Дискретні випадкові величини
- •Числові характеристики двв
- •6.1.2. Неперервні випадкові величини. Щільність розподілу.
- •Основні закони розподілу неперервних величин
- •Числові характеристики ннв
- •Правило трьох сигм
- •6.2. Закон великих чисел та центральна гранична теорема
- •Теорема
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичны заняття Практичне заняття №6
- •Практичне заняття №9
- •Самостійна робота
- •Числові характеристики основних розподілів
- •Рівень а
- •Рівень б
- •Рівень в
- •Задача 1
- •Задача 2
- •10. Неперервна випадкова величина задана інтегральною функцією розподілу:
- •Задачі для самоконтролю
- •Модуль іі. Математична статистика Змістовний модуль 3. Теоретичні основи математичної статистики
- •Тема 7. Предмет та задачі математичної статистики
- •Види та способи відбору
- •Первинна обробка даних
- •Згрупований розподіл накопиченої частоти
- •Розподіл щільності частоти і щільності відносної частоти
- •Емпірична функція розподілу
- •Властивості емпіричної функції розподілу
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 8. Статистичні оцінки параметрів розподілу
- •8.1. Числові характеристики статистичного розподілу
- •Алгоритм методу добутків
- •8.2. Точкові та інтервальні оцінки параметрів розподілу
- •Точкова оцінка математичного сподівання
- •Точкова оцінка дисперсії. Виправлена дисперсія
- •Інтервальні оцінки для математичного сподівання
- •Знаходження об’єму вибірки
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичні заняття Практичне заняття №10
- •Практичне заняття №11
- •Практичне заняття №12-13
- •Практичне заняття №14
- •Самостійна робота
- •Змістовний модуль 4. Статистична перевірка гіпотез. Елементи теорії кореляції і дисперсійного аналізу
- •Тема 9. Статистична перевірка гіпотез
- •Статистичні гіпотези та їх класифікація
- •9.2. Статистичні критерії перевірки нульової гіпотези
- •9.3. Перевірка гіпотези про закон розподілу. Критерій згоди Пірсона.
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 10. Елементи теорії кореляції
- •Запитання для самоконтролю
- •Тема 11. Поняття дисперсійного аналізу. Однофакторний дисперсійний аналіз
- •Запитання для самоконтролю
- •Практичні заняття
- •Практичне заняття №17
- •Практичне заняття №18
- •Самостійна робота
- •Методичні рекомендації
- •Список використаної та рекомендованої літератури
- •Додатки
- •Математична довідка
- •Властивості функції
- •V. Правила інтегрування функцій
Числові характеристики двв
Випадкова величина повністю визначається своїм законом розподілу. Але в деяких випадках корисно знати допоміжні числові характеристики розподілу, крім того, інколи ці характеристики є важливішими за сам розподіл випадкової величини.
Математичне сподівання
Нехай маємо ДВВ Х та її таблицю розподілу
Х |
х1 |
х2 |
х3 |
х |
... |
хп |
р |
р1 |
р2 |
р3 |
р4 |
... |
рп |
Означення. Математичним сподіванням дискретної випадкової величини Х називається сума добутків всіх можливих значень випадкової величини та відповідних їх ймовірностей
М(Х)=(12)
Математичне сподівання називають центром розсіювання випадкової величини і середнім арифметичним спостережуваних значень випадкової величини.
Задача 2. Азартна гра. Кидають два гральні кубики. Якщо сума очок більша 10, то гравець виграє 10 копійок, інакше програє 1 копійку. Чи є сенс йому грати в цю гру 12000000 партій?
Розв’язання. =36, тому із 36 можливих результатів випробування лише 3 сприятливих для гравця. А закон розподілу матиме вигляд
х |
10 |
-1 |
р |
|
|
М(Х)=.
Отже, програючи в середньому копійки за партію, за 12 000000 партій гравець програє 1 000 000 копійок, або 10 000 грн.
Властивості математичного сподівання:
Математичне сподівання сталої величини є сама ця стала: М(С)=С;
Сталий множник можна виносити за знак математичного сподівання: М(СХ)=СМ(Х);
Математичне сподівання суми двох випадкових величин дорівнює сумі їх математичних сподівань: М(Х+У)=М(Х)+М(У);
Математичне сподівання добутку двох незалежних випадкових величин дорівнює добутку їх математичних сподівань: М(Х·У)=М(Х) М(У);
Дисперсія та середнє квадратичне відхилення
Математичне сподівання дає відповідь на питання: „Яке значення випадкова величина приймає всередньому?”
Неважко показати, що випадкові величини з рівними математичними сподіваннями можуть суттєво відрізнятися по ступені близькості до нього.
Розглянемо випадкові величини Х та У
Х |
49 |
51 |
|
У |
0 |
100 |
р |
0,5 |
0,5 |
|
р |
0,5 |
0,5 |
Очевидно М(Х)=М(У)=50. Але якщо для випадкової величини Х відхилення від значення 50 незначне, то для випадкової величини У воно суттєве.
Якщо вибір між величинами Х та У – це вибір між двома альтернативними рішеннями, то Х – це більш стабільний передбачуваний результат, а У – це ризик.
Показником такої „непередбачуваності” є ще одна числова характеристика, що називається дисперсією і позначається D(X).
Якщо від випадкової величини відняти її математичне сподівання, то отримаємо нову випадкову величину Х-М(Х). Квадрат останньої також є випадковою величиною (Х-М(Х))2, математичне сподівання якої і є дисперсія випадкової величини Х.
Означення. Дисперсією дискретної випадкової називається математичне сподівання квадрата різниці випадкової величини і її математичного сподівання
D(X)=M(X-M(X))2 (13)
Дисперсію зручно обчислювати за формулою:
D(X)=M(X2)-(M(X))2 (14)
Ця формула випливає безпосередньо з означення після застосування властивостей математичного сподівання.
Обчислимо тепер дисперсії випадкових величин Х та У
Зауваження: математичне сподівання може бути будь-яким числом, а дисперсія завжди додатне число.
Властивості дисперсії
D(C)=0, C – стала величина;
D(CX)=C2D(X), тобто сталий множник можна винести за знак дисперсії, піднісши його до квадрату;
Дисперсія суми незалежних випадкових величин дорівнює сумі їх дисперсій D(X+Y)=D(X)+D(Y)
Наслідок: D(X-Y)=D(X)+D(Y).
Випадкові величини, що моделюють будь-які об’єкти реального світу, зазвичай мають розмірність (штуки, кілограми, метри і т.п.) При цьому математичне сподівання має туж розмірність, що й сама величина. А розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності випадкової величини. Для того, щоб уникнути цього вводиться поняття середньоквадратичного відхилення.
Означення. Корінь квадратний з дисперсії називається середнім квадратичним відхиленням випадкової величини і обчислюється за формулою:
(15)
Дисперсія і середнє квадратичне відхилення є мірою розсіяння значень випадкової величини навколо її математичного сподівання.
Задача 3. Дано ряд розподілу дискретної випадкової величини
х |
1 |
2 |
3 |
р |
0,4 |
0,5 |
0,1 |
Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення.
Розв’язання. Знайдено математичне сподівання за формулою (12): М(Х)=1·0,4+2·0,5+3·0,1=1,7.
Для знаходження математичного сподівання від квадрата можливих значень, потрібно всі можливі значення випадкової величини піднести до квадрата
Х2 |
1 |
4 |
9 |
р |
0,4 |
0,5 |
0,1 |
М(Х2)= 1·0,4+4·0,5+9·0,1=3,3.
За формулою (14) знаходимо дисперсію D(X)= M(X2)-(M(X))2=3,3-(1,7)2=0,41.
Тоді середнє квадратичне відхилення знаходиться за формулою (15) і дорівнює .
Відповідь: 0,41; 0,64.