Алгоритм методу добутків

У перший стовпчик таблиці записують рівновіддалені варіанти x_i вибірки, розміщуючи їх у зростаючому порядку.

У другий стовпчик таблиці записують відповідні частоти k_i варіант. Суму усіх елементів цього стовпчика (об’єм вибірки) записують у останню клітинку цього стовпчика.

Третій стовпчик містить умовні варіанти u_i вибірки. Для знаходження умовних варіант вибірки треба:

1. значення варіанти вибірки з найбільшою частотою (моду) С обрати за умовний нуль;

2. знайти різницю h між будь-якими двома сусідніми варіантами;

3. обчислити умовні варіанти u_i за формулою .

У четвертий стовпчик записують добутки частот та відповідних умовних варіант u_i∙ k_i. Суму елементів стовпчика записують в останню клітинку цього стовпчика.

Знаходять добутки частот та квадратів умовних варіант u_i∙ k_i² і записують їх у п’ятий стовпчик. Суму елементів стовпчика записують в останню клітинку цього стовпчика.

Знаходять добутки частот та квадратів умовних варіант, збільшених на одиницю, k_i (u_i+1)² і записують їх у шостий стовпчик. Суму елементів стовпчика записують в останню клітинку цього стовпчика.

Перевіряють обчислення так: сума елементів шостого стовпчика повинна задовольняти тотожність

Обчислюють умовні моменти за формулами

Обчислюють вибіркові середню та дисперсію за формулами

Приклад. Знайти методом добутків вибіркові середню та дисперсію заданої вибірки

xi	18,6	19	19,4	19,8	20,2	20,6
ki	4	6	30	40	18	2

У даному випадку: варіанти вибірки рівновіддалені

h=x₂–x₁=19-18,6=0,4; найбільша частота 40 у варіанти 19,8. Тому умовним нулем буде С=19,8.

1	2	3	4	5	6
хі	ki	ui	ui∙ ki	ui∙ ki^2	ki (ui+1)^2
18,6	4	-3	-12	36	16
19	6	-2	-12	24	6
19,4	30	-1	-30	30	0
19,8	40	0	0	0	40
20,2	18	1	18	18	72
20,6	2	2	4	8	18
	п=100		∑=-32	∑=116	∑=152

Для контролю перевіряємо умову:

116+2∙(–32)+100=152; 152152.

Знайдемо умовні моменти

Знаходимо шукані вибіркову середню та вибіркову дисперсію

8.2. Точкові та інтервальні оцінки параметрів розподілу

Повною характеристикою випадкової величини – ознаки генеральної сукупності є її закон розподілу. Для його встановлення дослідними методами потрібні певні затрати ресурсів і часу. Однак часто є підстави вважати, що той чи інший закон розподілу є відомий (наприклад: пуассонівський, нормальний, показниковий тощо). Але щоб конкретизувати цей закон, потрібно знати його параметри, які називають параметрами розподілу. Зокрема для нормального закону розподілу параметрами є а і , для пуассонівського –, для показникового –і т. д.

Отже, вивчаючи певну ознаку Х генеральної сукупності, ми можемо знати характер закону розподілу випадкової величини Х, але параметри цього закону залишаються невідомими. Тоді виникає задача: на основі одержаної вибірки з генеральної сукупності визначити наближені числові значення невідомих параметрів розподілу. Такі наближені числові значення параметрів розподілу називають їхніми точковими статистичними оцінками, або просто точковими оцінками.

Означення. Статистичною оцінкою невідомого параметра випадкової величини Х генеральної сукупності називають функцію від випадкових величин (результатів вибірки), що спостерігається.

Щоб статистичні оцінки давали найкращі наближення параметрів, вони повинні задовольняти певним вимогам. Розглянемо ці вимоги.

Нехай є статистична оцінка невідомого параметратеоретичного розподілу.

Припустимо, що за вибіркою об’єму n знайдена оцінка . При інших вибірках того ж об’єму одержимо деякі інші оцінкиСаме оцінкуможна розглядати, як випадкову величину, а числа, як її можливі значення.

Якщо числа k=1,2, …,m будуть більші значення , тоді оцінкадає наближене значенняз надлишком. У цьому випадку математичне сподівання випадкової величинибуде більше, М()>.

Якщо дає оцінкуз недостачею, тоді М()<.

Таким чином, використання статистичної оцінки, математичне сподівання якої не дорівнює параметру , приводить до систематичних похибок.

Вимога М()=застерігає від систематичних похибок.

Статистичні оцінки класифікують за такими ознаками:

Означення. Статистичну оцінку θ^* параметра θ називають незміщеною, якщо М(θ^*)=θ. Зміщеною будемо називати статистичну оцінку, для якої М(θ^*)≠θ.

Означення. Ефективною називають статистичну θ^* оцінку, яка при заданому обсязі вибірки п має найменшу дисперсію.

Якщо розглядати вибірки великого обсягу, то до статистичних оцінок висувається вимога змістовності.

Означення. Змістовною називають статистичну оцінку, яка при п→∞ прямує за ймовірністю до параметру, що оцінюється.

Прикладом змістовної оцінки можуть слугувати закони великих чисел, наприклад, теорема Бернуллі.

Статистичні оцінки можна поділити на точкові та інтервальні.

Означення. Точковою називають оцінку, яка визначається одним числом.

Наприклад, вибіркова середня, вибіркова дисперсія – точкові оцінки відповідних числових характеристик генеральної сукупності.