Тема 1. Основні поняття теорії ймовірностей

1.1. Поняття "випробування" та "подія". Предмет теорії ймовірностей. Коротка історична довідка.

В теорії ймовірностей розглядаються експерименти, які в незмінних умовах можна повторити будь-яку кількість разів, але результати яких наперед неможливо передбачити. Такі експерименти називають випробуваннями. Найпростіший результат випробування називається елементарною подією і позначається .

Означення. Сукупність усіх елементарних подій випробування називається простором елементарних подій і позначається .

Приклад. Випробування – підкидання монети; елементарні події: –поява герба,– поява номіналу;=.

Означення. Будь-яка підмножина А простору елементарних подій називається випадковою подією. Елементарні події, що входять в А, називаються сприятливими для А.

Отже, випадковою називають таку подію, яка при умовах, що розглядаються, може здійснитися, а може й не здійснитися.

Випадкові події позначають великими літерами, наприклад, A, B, C, X, Y, Z, A₁, A₂, A₃,…, A_n.

Приклад. Випробування – підкидання правильного грального кубика. Випадкова подія А – поява парного числа очок, тоді А ={,,}, де– випадання двох очок,– випадання чотирьох очок,– випадання шести очок – сприятливі елементарні події дляА.

Окрім випадкових подій розрізняють достовірні та неможливі події.

Означення. Достовірною називають таку подію, яка в даному випробуванні обов’язково здійсниться.

Приклад. Простір елементарних подій – є достовірною подією, оскільки одна з елементарних подій обов’язково здійсниться. У прикладі про підкидання монети обов’язково з’явиться герб або номінал.

Означення. Неможливою називають таку подію, яка в даному випробуванні не може здійснитися.

Приклад. Порожня множина  є неможливою подією. У першому прикладі подія „монета впаде на ребро” – неможлива.

Якщо випадкову подію розглядати багато разів при однакових умовах, то можна виявити певну закономірність її появи. Таку закономірність називають імовірною закономірністю масових однорідних випадкових подій.

У теорії ймовірностей під масовими однорідними випадковими подіями розуміють такі події, які здійснюються багатократно при однакових умовах або багато однакових подій.

У XVIII ст. Бюффон підкинув монету 4040 разів. Герб випав 2048 разів. У ХХ ст. Пірсон підкинув монету 24000 разів. Герб випав 12012 разів. Отже, випадання герба є однаково ймовірностним і приблизно дорівнює 0,5.

Означення. Теорія ймовірностей – це наука, яка вивчає закономірності випадкових явищ.

Перші роботи, в яких з’явилися основні поняття теорії ймовірностей, належать вченим XV-XVI століття: Б.Спінозі, Дж. Кардано, Галілео Галілею. Вони будувалися на теорії азартних ігор (наприклад, грі в кості).

Подальшим розвитком (кінець XVII - початок XVIII ст.) теорія ймовірностей зобов’язана таким математикам як Б.Паскаль, П Ферма, Х. Гюйгенс, К. Гаус, Я. Бернуллі, С. Пуассон, А. Муавр, П. Лаплас, Т. Бейєс.

Лише наприкінці XIX ст. П.Л. Чебишов та його учні А.А. Марков та А.М. Ляпунов перетворили теорію ймовірностей у математичну науку.

2. Класифікація випадкових подій

Ознайомимось з деякими різновидами випадкових подій на прикладі. Нехай маємо три випадкові події у випробуванні – „проводиться іспит”:

подія А – студент вивчив усі екзаменаційні питання до іспиту;

подія В – студент не вивчив жодного екзаменаційного питання до іспиту;

подія С – студент склав іспит;

подія D – студент не склав іспит.

Якими вони можуть бути по відношенню одна до одної?

Означення. Події називаються сумісними, якщо поява однієї з них не виключає можливості появи інших (не обов’язково одночасно) в одному і тому ж випробуванні (А і С, В і D – сумісні).

Означення. Події називаються несумісними, якщо поява однієї з них виключає появу інших в одному і тому ж випробуванні (A i B, C і D – несумісні).

Означення. Події називають рівноможливими, якщо немає причин стверджувати, що будь-яка з них можливіша за іншу (C і D – рівноможливі).

Означення. Дві події називаються протилежними, якщо поява однієї з них виключає появу іншої в одному і тому ж випробуванні (A і B, C i D – протилежні).

Якщо взяти подію А, то протилежну подію прийнято позначати , тобто подія– студент вивчив не всі екзаменаційні питання.

Означення. Випадкові події утворюють повну групу подій, якщо внаслідок випробування хоча б одна з них з’явиться обов’язково.

3. Алгебра випадкових подій

Під алгеброю випадкових подій розуміють виконання математичних операцій (дій) над ними. Алгебра подій будується по аналогії з теорією множин.

Нехай А та В випадкові події.

Означення. Сумою (об’єднанням) подій А та В називається випадкова подія А+В (або АВ), яка настає тоді, коли настає принаймні одна з подій А або В.

Сприятливими для суми є елементарні події, які сприятливі або для А, або для В, або для обох подій А і В.

Якщо А та В несумісні, то АВ означає появу події А або події В.

Аналогічно визначають суму більшої кількості подій.

Приклад. Випробування – відзначання Пасхи:

подія А – у березні;

подія В – у квітні;

подія С – у травні.

Тоді випадкова подія АВС – відзначання Пасхи відбувається навесні.

Означення. Добутком (перетином) подій А та В називається випадкова подія А·В (або АВ), яка настає тоді, коли настають обидві події А і В.

Сприятливими для добутку А·В є елементарні події, які сприятливі і для А, і для В.

Якщо А та В несумісні, то добуток АВ є множина, яка немає жодного елемента, тобто АВ =.

Аналогічно визначають добуток більшої кількості подій.

Приклад. Випробування – перехід студента з I курсу на II курс:

подія А – студент склав іспит з психології;

подія В – студент склав іспит з математичної статистики;

подія С – студент склав залік з філософії.

Тоді випадкова подія АВС – студент перейшов на II курс.

Означення. Різницею подій А і В називається подія А-В (А\В), яка настає тоді, коли настає подія А і не настає подія В.

Сприятливими для різниці є елементарні події, які сприятливі тільки для А і не сприятливі для В.

Приклад. Випробування – відбір студентів для художнього гуртка:

подія А – студент вміє малювати і грати на музичних інструментах;

подія В – студент вміє грати на музичних інструментах;

Тоді випадкова подія А\В – кількість відібраних студентів для художнього гуртка.

Наведені означення зручно ілюструвати за допомогою діаграм Вена-Ейлера, на яких простір елементарних подій зображений у вигляді прямокутника, а події у вигляді кругів (рис. 1).

Рис. 1