Інтервальні оцінки для математичного сподівання

Теорема 1. Нехай Х – нормально розподілена ознака генеральної сукупності, для якої М(Х)=а, ,–вибіркова середня, обчислена за вибіркою обсягом п з цієї генеральної сукупності. Тоді

 t  0 , де . (21)

Теорема 2. Нехай Х – довільно розподілена ознака генеральної сукупності, для якої М(Х)=а, ,–вибіркова середня, обчислена за вибіркою обсягом п з цієї генеральної сукупності. Тоді

 t  0 , (22)

де .

Нехай х₁, х₂, х₃, ..., х_n – результати п незалежних спостережень за випадковою величиною Х, на підставі яких необхідно знайти інтервал довір’я для невідомого параметра а=М(Х) .

Оскільки для математичного сподівання точковою оцінкою є , то для знаходження інтервалу довір’япотрібно розв’язати рівняння

, (23)

якщо середнє квадратичне відхилення випадкової величини Х відоме, то розв’язок рівняння (23) можна знайти використовуючи рівності (21) або (22).

Так, якщо відоме, Х- нормально розподілена випадкова величина або обсяг вибірки значний (п 30), то ми можемо записати, що

.

Тоді, якщо – розв’язок рівняння , то з надійністю інтервалє інтервалом довір’я для математичного сподівання а.

Якщо невідоме, але обсяг вибірки значний (п 30), то інтервал довір’я можна записати у вигляді

або , (24)

де s – виправлене середньоквадратичне відхилення, знайдене за вибіркою обсягу п.

Якщо невідоме, обсяг вибірки незначний (п  30), але Х- нормально розподілена випадкова величина то інтервал довір’я можна записати у вигляді (24), де значення шукають за таблицями значень для розподілу Стьюдента залежно від ймовірностіі числа ступенів свободиk=n-1 (додаток 5).

Приклад. Вибіркове обстеження прибутків за місяць підприємців дало результати, дані якого записані у вигляді розподілу

Прибуток тис.грн.(хі)	1	3	4	5	6	7
Частота (kі)	1	1	2	3	2	1

Побудувати інтервал довір’я для математичного сподівання а, допустивши, що генеральна сукупність Х розподілена нормально з надійністю =0.95.

Розв’язання.

Обчислимо числові характеристики вибірки

=(1+3+8+15+12+7)/10=4,8

=(1+9+16·2+25·3+36·2+49)/10-48=23,8-23,04=0,76

Виправлене середнє квадратне відхилення

При надійності та кількості ступенів вільностіk=10-1=9 за таблицями додатку 5 знаходимо =2.31. Підставивши обчислені та знайдені за таблицею значення у формулу (24), отримаємо інтервал довір’я (4,09;5,51) для щомісячних прибутків підприємств у тис.грн. з надійністю 0,95.

Знаходження об’єму вибірки

Нехай ознака Х генеральної сукупності розподілена за нормальним законом з параметром  і треба знайти об’єм вибірки n, який із заданою точністю  та надійністю  дозволить знайти оцінку параметра а.

Із формули (22) очевидно, що

(25)

Приклад. Випадкова величина розподілена за нормальним законом з параметром . Знайти мінімальний об’ємn вибірки, щоб з надійністю  та точністю  виконувалася рівність =а, якщо =0,5; =0.95; =0,1.

Розв’язання.

Для =0,95 з формули Ф(t)=0,475 t=1,96.

З рівності (25) n===96,04.

Отже, мінімальний об’єм вибірки n=96.