Числові характеристики ннв

Означення. Математичним сподіванням неперервної випадкової величини Х, заданої щільністю розподілу, називається число, яке обчислюється за формулою

Якщо неперервна випадкова величина приймає значення на відрізку [a;b] та має щільність ймовірностей , то її математичне сподівання знаходиться за формулою

Задача 5. Випадкова величина задана щільністю розподілу

Знайти математичне сподівання.

Розв’язання. .

Відповідь: .

Для неперервної випадкової величини дисперсія обчислюється за формулою:

(17)

або

(18)

Задача 6. Випадкова величина задана щільністю розподілу

Знайти дисперсію та середнє квадратичне відхилення.

Розв’язання У задачі 5 знайдено математичне сподівання .

М(Х²)=. За формулою (18) знаходимо дисперсію

.

Відповідь: , 0,2357.

Правило трьох сигм

Якщо випадкова величина Х розподілена нормально, то , тобто ймовірність того, що абсолютна величина відхилення Х від її математичного сподівання прямує до нуля, а це означає, що– практично достовірна подія.

У практиці це правило використовують так: якщо закон розподілу випадкової величини Х невідомий, але , тоді можна припустити, що Х розподілена нормально.

6.2. Закон великих чисел та центральна гранична теорема

Граничні теореми, що встановлюють граничні закони розподілу випадкових величин, об’єднують загальною назвою – центральна гранична теорема

Теорема

(Нерівність Чебишова)

Для будь-якої випадкової величини Х ймовірність того, що вона відхиляється від свого математичного сподівання більше, ніж на число, завжди менша, ніж, тобто:

(19)

У статистиці частіше використовують нерівність Чебишева для середнього квадратичного відхилення:

Граничні теореми які встановлюють відповідність між теоретичними та дослідними характеристиками випадкових подій. Об’єднують загальною назвою – закону великих чисел.

Нехай Х випадкова величина, яка має математичне сподівання М(Х) і дисперсію D(X). Нехай Х₁, Х₂, ..., Х_п випадкові величини, які мають ті ж параметри розподілу, що й Х.

Візьмемо нову випадкову величину . Застосуємо нерівність Чебишова для випадкової величини:

.

Наслідком цієї нерівності є твердження: .

Тобто середнє арифметичне результатів випробування зі зростанням п все точніше відображає математичне сподівання досліджуваної випадкової величини.

Запитання для самоконтролю

1. Яку величину називають випадковою? Які є види випадкових величин? Навести приклади.

2. Що таке закон розподілу ДВВ? Назвати основні закони розподілу ДВВ.

3. Які існують числові характеристики дискретних випадкових величин? Що вони означають та за якими формулами обчислюються?

4. Дати визначення інтегральної та диференціальної функції розподілу. Вказати властивості та взаємозв’язок між ними.

5. Назвати основні закони розподілу НВВ.

6. За якими формулами обчислюють числові характеристики для НВВ?

7. Записати нерівність Чебишова в двох формах.